7.设总体Xsim N(mu,sigma^2)，则mu的置信区间长度L与置信水平1-α的关系是（）A. 1-α减小时，L变小B. 1-α减小时，L增大C. 1-α减小时，L不变D. 1-α减小时，L增减不定

本题考查正态总体均值的置信区间以及置信区间长度与置信水平的关系。解题的关键在于明确正态总体均值在方差已知和未知情况下的置信区间公式，进而得到置信区间长度的表达式，再分析其与置信水平的关系。

1. 当总体方差$\sigma^{2}$已知时

总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，样本均值$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，则$Z = \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$。
对于给定的置信水平$1 - \alpha$，有$P\{ -z_{\frac{\alpha}{2}}<\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}<z_{\frac{\alpha}{2}}\}=1 - \alpha$，其中$z_{\frac{\alpha}{2}}$是标准正态分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点。
通过不等式变形可得$\mu$的置信区间为$(\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$。
那么置信区间长度$L = (\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})-(\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})=2z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

2. 当总体方差$\sigma^{2}$未知时

用样本标准差$S$代替总体标准差$\sigma$，此时$T=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\sim t(n - 1)$，其中$t(n - 1)$是自由度为$n - 1$的$t$分布。
对于给定的置信水平$1 - \alpha$，有$P\{ -t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)<\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}<t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\}=1 - \alpha$，其中$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$是自由度为$n - 1$的$t$分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点。
通过不等式变形可得$\mu$的置信区间为$(\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}})$。
那么置信区间长度$L = (\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}})-(\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}})=2t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}$。

3. 分析置信水平$1 - \alpha$与置信区间长度$L$的关系

当$1 - \alpha$减小时，$\alpha$增大，那么$\frac{\alpha}{2}$增大。
对于标准正态分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点$z_{\frac{\alpha}{2}}$和自由度为$n - 1$的$t$分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$，随着$\frac{\alpha}{2}$增大，$z_{\frac{\alpha}{2}}$和$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$的值都减小。
在$L = 2z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$（$\sigma^{2}$已知）和$L = 2t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}$（$\sigma^{2}$未知）中，$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$和$\frac{S}{\sqrt{n}}$是与$\alpha$无关的常数，所以当$z_{\frac{\alpha}{2}}$或$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$减小时，置信区间长度$L$变小。