题目
04G.已知某试验室日用电量(单位:度) sim N((100)^circ (S)^2) ,设每天用电量是相互独立的,求-|||-(1)某日用电量超过110度的概率;-|||-(2)一周(7天)内至多只有1天日用电量超过110度的概率-|||-(3)日供电量至少达到多少时,才能以0.95以上的概率保证实验室正常生产?
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算某日用电量超过110度的概率
根据题目，$X\sim N(100, 5^2)$，即$X$服从均值为100，方差为25的正态分布。要计算某日用电量超过110度的概率，即$P(X > 110)$，需要将$X$标准化，即$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中$\mu = 100$，$\sigma = 5$。因此，$P(X > 110) = P(Z > \frac{110 - 100}{5}) = P(Z > 2)$。查标准正态分布表，$P(Z > 2) = 1 - P(Z \leq 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$。
步骤 2：计算一周内至多只有1天日用电量超过110度的概率
设$Y$为一周内用电量超过110度的天数，$Y$服从二项分布$B(7, 0.0228)$。要计算一周内至多只有1天日用电量超过110度的概率，即$P(Y \leq 1)$。根据二项分布的性质，$P(Y \leq 1) = P(Y = 0) + P(Y = 1)$。其中，$P(Y = 0) = C_7^0 \cdot (0.0228)^0 \cdot (1 - 0.0228)^7 = 0.8509$，$P(Y = 1) = C_7^1 \cdot (0.0228)^1 \cdot (1 - 0.0228)^6 = 0.1390$。因此，$P(Y \leq 1) = 0.8509 + 0.1390 = 0.9899$。
步骤 3：计算日供电量至少达到多少时，才能以0.95以上的概率保证实验室正常生产
设日供电量至少为$w$度，要以0.95以上的概率保证实验室正常生产，即$P(X \leq w) \geq 0.95$。将$X$标准化，即$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中$\mu = 100$，$\sigma = 5$。因此，$P(X \leq w) = P(Z \leq \frac{w - 100}{5}) \geq 0.95$。查标准正态分布表，$P(Z \leq 1.65) = 0.95$。因此，$\frac{w - 100}{5} = 1.65$，解得$w = 108.25$。
根据题目，$X\sim N(100, 5^2)$，即$X$服从均值为100，方差为25的正态分布。要计算某日用电量超过110度的概率，即$P(X > 110)$，需要将$X$标准化，即$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中$\mu = 100$，$\sigma = 5$。因此，$P(X > 110) = P(Z > \frac{110 - 100}{5}) = P(Z > 2)$。查标准正态分布表，$P(Z > 2) = 1 - P(Z \leq 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$。
步骤 2：计算一周内至多只有1天日用电量超过110度的概率
设$Y$为一周内用电量超过110度的天数，$Y$服从二项分布$B(7, 0.0228)$。要计算一周内至多只有1天日用电量超过110度的概率，即$P(Y \leq 1)$。根据二项分布的性质，$P(Y \leq 1) = P(Y = 0) + P(Y = 1)$。其中，$P(Y = 0) = C_7^0 \cdot (0.0228)^0 \cdot (1 - 0.0228)^7 = 0.8509$，$P(Y = 1) = C_7^1 \cdot (0.0228)^1 \cdot (1 - 0.0228)^6 = 0.1390$。因此，$P(Y \leq 1) = 0.8509 + 0.1390 = 0.9899$。
步骤 3：计算日供电量至少达到多少时，才能以0.95以上的概率保证实验室正常生产
设日供电量至少为$w$度，要以0.95以上的概率保证实验室正常生产，即$P(X \leq w) \geq 0.95$。将$X$标准化，即$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中$\mu = 100$，$\sigma = 5$。因此，$P(X \leq w) = P(Z \leq \frac{w - 100}{5}) \geq 0.95$。查标准正态分布表，$P(Z \leq 1.65) = 0.95$。因此，$\frac{w - 100}{5} = 1.65$，解得$w = 108.25$。