判断题(2.0分)-|||-有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。-|||-A) 对-|||-B 错

考查要点：本题主要考查无穷小量的性质以及有界函数与无穷小量乘积的极限行为。

解题核心思路：

1. 无穷小量的定义：当自变量趋于某值时，函数值无限趋近于0。
2. 有界函数的定义：存在常数$M>0$，使得$|f(x)| \leq M$。
3. 乘积性质：有界函数的绝对值被某个常数$M$限制，与无穷小量相乘后，其绝对值不超过$M$倍的无穷小量，因此乘积仍趋于0。

破题关键点：

• 利用不等式放缩：通过$|f(x)g(x)| \leq M|g(x)|$，结合$g(x)$趋于0的性质，直接推出乘积趋于0。

步骤1：明确概念

• 设$f(x)$是有界函数，即存在$M>0$，使得$|f(x)| \leq M$。
• 设$g(x)$是无穷小量，即$\lim\limits_{x \to a} g(x) = 0$。

步骤2：分析乘积的绝对值
乘积的绝对值为：
$|f(x)g(x)| = |f(x)| \cdot |g(x)| \leq M \cdot |g(x)|.$

步骤3：应用极限性质
因为$\lim\limits_{x \to a} g(x) = 0$，所以$\lim\limits_{x \to a} M \cdot |g(x)| = M \cdot 0 = 0$。
根据夹逼定理，$|f(x)g(x)|$被一个趋于0的量控制，因此：
$\lim\limits_{x \to a} f(x)g(x) = 0.$

结论：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，答案为A. 对。