题目
15. (5.0分) 若随机变量X服从Xsim N(mu,sigma^2)，则(X-mu)/(sigma^2)sim N(0,1)。A. 对B. 错
15. (5.0分) 若随机变量X服从$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$\frac{X-\mu}{\sigma^{2}}\sim N(0,1)$。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：计算变换后的随机变量的均值
设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $Y = \frac{X - \mu}{\sigma^2}$ 的均值为： $$ E(Y) = E\left(\frac{X - \mu}{\sigma^2}\right) = \frac{E(X) - \mu}{\sigma^2} = \frac{\mu - \mu}{\sigma^2} = 0 $$
步骤 2：计算变换后的随机变量的方差
方差为： $$ \text{Var}(Y) = \text{Var}\left(\frac{X - \mu}{\sigma^2}\right) = \frac{1}{\sigma^4} \cdot \text{Var}(X) = \frac{1}{\sigma^4} \cdot \sigma^2 = \frac{1}{\sigma^2} $$
步骤 3：判断变换后的随机变量是否服从标准正态分布
仅当 $\sigma^2 = 1$ 时，方差为1。一般情况下，方差不为1，故 $Y$ 不服从 $N(0,1)$。
设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $Y = \frac{X - \mu}{\sigma^2}$ 的均值为： $$ E(Y) = E\left(\frac{X - \mu}{\sigma^2}\right) = \frac{E(X) - \mu}{\sigma^2} = \frac{\mu - \mu}{\sigma^2} = 0 $$
步骤 2：计算变换后的随机变量的方差
方差为： $$ \text{Var}(Y) = \text{Var}\left(\frac{X - \mu}{\sigma^2}\right) = \frac{1}{\sigma^4} \cdot \text{Var}(X) = \frac{1}{\sigma^4} \cdot \sigma^2 = \frac{1}{\sigma^2} $$
步骤 3：判断变换后的随机变量是否服从标准正态分布
仅当 $\sigma^2 = 1$ 时，方差为1。一般情况下，方差不为1，故 $Y$ 不服从 $N(0,1)$。