题目

8.从underline(1000)个产品中随机地抽取underline(150)个，检测后发现有underline(3)个次品，则该1000个产品中，次品个数的矩估计为_____.

8.从$\underline{1000}$个产品中随机地抽取$\underline{150}$个，检测后发现有$\underline{3}$个次品，则该1000个产品中，次品个数的矩估计为_____.

题目解答

答案

为了确定1000个产品中次品个数的矩估计，我们可以使用样本中次品的比例来估计总体中次品的比例。以下是解题步骤：

  1. 确定样本中次品的比例：

    • 样本大小 $n = 150$
    • 样本中次品数 $k = 3$
    • 样本中次品的比例 $\hat{p} = \frac{k}{n} = \frac{3}{150} = 0.02$

  2. 使用样本中次品的比例来估计总体中次品的比例：

    • 设 $N$ 为总体中的产品总数，$N = 1000$
    • 设 $D$ 为总体中的次品数
    • 总体中次品的比例 $p = \frac{D}{N}$
    • 由于样本中次品的比例是总体中次品比例的估计，我们有 $\hat{p} \approx p$
    • 因此， $0.02 \approx \frac{D}{1000}$

  3. 求解 $D$：

    • $D \approx 0.02 \times 1000 = 20$

因此，该1000个产品中次品个数的矩估计为 $\boxed{20}$。

解析

本题考查矩估计的知识。解题思路是利用样本中次品的比例来估计总体中次品的比例，进而求出总体中次品的个数。

  1. 首先计算样本中次品的比例：
    已知样本大小$n = 150$，样本中次品数$k = 3$，根据比例公式，样本中次品的比例$\hat{p}=\frac{k}{n}$，将$k = 3$，$n = 150$代入可得：
    $\hat{p}=\frac{3}{150}=0.02$
  2. 然后用样本中次品的比例估计总体中次品的比例：
    设总体中的产品总数为$N$，已知$N = 1000$，设总体中的次品数为$D$，则总体中次品的比例$p=\frac{D}{N}$。
    因为样本中次品的比例是总体中次品比例的估计，所以$\hat{p}\approx p$，即$0.02\approx\frac{D}{1000}$。
  3. 最后求解总体中次品的个数$D$：
    由$0.02\approx\frac{D}{1000}$，两边同时乘以$1000$可得：
    $D\approx0.02\times1000 = 20$