题目
设 X 与 Y 是相互独立的随机变量 ,X 服从 [0,0.2] 上的均匀分布 ,Y 服从参数为 5 的指数分布 , 求 (X,Y) 的联合密度函数及 P(X⩾Y).
设
题目解答
答案
由均匀分布的定义知f
X（x）={
|
|
由指数分布的定义知f Y（y）={
|
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因为X与Y独立，易得（X，Y）的联合密度函数
f（x，y）=f X（x）f Y（y）={
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概率 P{X≥Y}=
| ∬ |
G
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其中区域G={（x，y）|x≥y}见图，经计算有 P(X≥Y)=
| ∫ |
0.2
0
|
| ∫ |
x
0
|
| ∫ |
0.2
0
|
所以X和Y的联合密度函数为f（x，y）=f X（x）f Y（y）={，
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P{x≥y}=e -1
解析
步骤 1：确定 X 的概率密度函数
X 服从 [0,0.2] 上的均匀分布，因此其概率密度函数为：
\[ f_X(x) = \begin{cases}
5, & 0 \leq x \leq 0.2 \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \]
步骤 2：确定 Y 的概率密度函数
Y 服从参数为 5 的指数分布，因此其概率密度函数为：
\[ f_Y(y) = \begin{cases}
5e^{-5y}, & y \geq 0 \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \]
步骤 3：确定 (X,Y) 的联合密度函数
由于 X 与 Y 是相互独立的随机变量，所以它们的联合密度函数为：
\[ f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = \begin{cases}
25e^{-5y}, & 0 \leq x \leq 0.2, y \geq 0 \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \]
步骤 4：计算 P(X⩾Y)
\[ P(X⩾Y) = \int_{0}^{0.2} \int_{0}^{x} 25e^{-5y} \, dy \, dx \]
\[ = \int_{0}^{0.2} \left[ -5e^{-5y} \right]_{0}^{x} \, dx \]
\[ = \int_{0}^{0.2} \left( -5e^{-5x} + 5 \right) \, dx \]
\[ = \left[ -e^{-5x} + 5x \right]_{0}^{0.2} \]
\[ = \left( -e^{-1} + 1 \right) - \left( -1 + 0 \right) \]
\[ = 1 - e^{-1} \]
X 服从 [0,0.2] 上的均匀分布，因此其概率密度函数为：
\[ f_X(x) = \begin{cases}
5, & 0 \leq x \leq 0.2 \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \]
步骤 2：确定 Y 的概率密度函数
Y 服从参数为 5 的指数分布，因此其概率密度函数为：
\[ f_Y(y) = \begin{cases}
5e^{-5y}, & y \geq 0 \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \]
步骤 3：确定 (X,Y) 的联合密度函数
由于 X 与 Y 是相互独立的随机变量，所以它们的联合密度函数为：
\[ f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = \begin{cases}
25e^{-5y}, & 0 \leq x \leq 0.2, y \geq 0 \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \]
步骤 4：计算 P(X⩾Y)
\[ P(X⩾Y) = \int_{0}^{0.2} \int_{0}^{x} 25e^{-5y} \, dy \, dx \]
\[ = \int_{0}^{0.2} \left[ -5e^{-5y} \right]_{0}^{x} \, dx \]
\[ = \int_{0}^{0.2} \left( -5e^{-5x} + 5 \right) \, dx \]
\[ = \left[ -e^{-5x} + 5x \right]_{0}^{0.2} \]
\[ = \left( -e^{-1} + 1 \right) - \left( -1 + 0 \right) \]
\[ = 1 - e^{-1} \]