题目
设总体Xsim N(mu,sigma^2)，sigma^2已知，检验H_(0):mu=mu_(0)，H_(1):muneqmu_(0)时，检验统计量为____，其服从____分布。
设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$已知，检验$H_{0}:\mu=\mu_{0}$，$H_{1}:\mu\neq\mu_{0}$时，检验统计量为____，其服从____分布。
题目解答
答案
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\sigma^2$ 已知。检验假设 $H_0: \mu = \mu_0$ 与 $H_1: \mu \neq \mu_0$ 时，使用样本均值 $\bar{X}$。
样本均值 $\bar{X}$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。在 $H_0$ 下，$\bar{X} \sim N\left(\mu_0, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
构造检验统计量：
$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
该统计量服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
答案：
检验统计量为 $\boxed{\frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}}$，服从 $\boxed{N(0, 1)}$ 分布（或标准正态分布）。
解析
本题考查正态总体均值的假设检验中检验统计量的构造及分布。解题思路如下：
- 首先明确总体$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，且$\sigma^{2}$已知，我们要检验的假设是$H_{0}:\mu=\mu_{0}$，$H_{1}:\mu\neq\mu_{0}$。在进行假设检验时，通常会利用样本均值$\bar{X}$来构造检验统计量。
- 根据正态分布的性质，若总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，样本容量为$n$，则样本均值$\bar{X}$服从正态分布$N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。当原假设$H_{0}$成立时，即$\mu = \mu_{0}$，此时样本均值$\bar{X}$服从$N\left(\mu_0, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
- 为了将样本均值$\bar{X}$转化为标准正态分布，我们对其进行标准化处理。对于一个服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$的随机变量$Y$，其标准化形式为$Z=\frac{Y - \mu}{\sigma}$。在这里，$Y = \bar{X}$，$\mu = \mu_{0}$，$\sigma=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$（因为$\bar{X}$的标准差为$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$），所以构造的检验统计量为$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$。
- 根据标准化的性质，经过标准化处理后的统计量$Z$服从标准正态分布$N(0, 1)$。