3【单选题】已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1,2,0,1，它们的余子式依次分别为5,3,-7,4则D=（）。A. -15B. -5C. 5D. 15

本题考查行列式按列展开定理的应用。解题思路是根据行列式按列展开定理，行列式某一列元素与它们对应的代数余子式乘积之和等于该行列式的值，而代数余子式与余子式之间存在特定关系，通过这些关系来计算行列式的值。

已知四阶行列式$D$中第三列元素依次为$a_{13}=-1$，$a_{23}=2$，$a_{33}=0$，$a_{43}=1$，它们的余子式依次分别为$M_{13}=5$，$M_{23}=3$，$M_{33}=-7$，$M_{43}=4$。
根据代数余子式与余子式的关系$A_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}$，可得第三列元素对应的代数余子式分别为：

• $A_{13}=(-1)^{1 + 3}M_{13}=(-1)^4\times5 = 5$；
• $A_{23}=(-1)^{2 + 3}M_{23}=(-1)^5\times3 = -3$；
• $A_{33}=(-1)^{3 + 3}M_{33}=(-1)^6\times(-7) = -7$；
• $A_{43}=(-1)^{4 + 3}M_{43}=(-1)^7\times4 = -4$。

再根据行列式按列展开定理$D = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+a_{3j}A_{3j}+a_{4j}A_{4j}$（$j$为列标），对于第三列有：
$\begin{align*}D&=a_{13}A_{13}+a_{23}A_{23}+a_{33}A_{33}+a_{43}A_{43}\\&=(-1)\times5 + 2\times(-3)+0\times(-7)+1\times(-4)\\&=-5 - 6 + 0 - 4\\&=-15\end{align*}$