9.(6.0分)已知A,B均为n阶可逆方阵,则以下命题一定正确的是( ).A |(kA)^-1|=(1)/(k)|A^-1|B }A&OO&BC (AB)^-1=A^-1B^-1D (A-B)^-1=A^-1-B^-1E [(AB)^T]^-1=(A^-1)^T(B^-1)^T
题目解答
答案
已知 $A, B$ 均为 $n$ 阶可逆方阵，我们需要逐一分析给出的五个选项，判断哪个命题一定正确。
选项 A 分析：
我们需要计算 $|(kA)^{-1}|$ 并与 $\frac{1}{k}|A^{-1}|$ 进行比较。
根据矩阵数乘的性质，$(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$。
接着求其行列式：$|(kA)^{-1}| = |\frac{1}{k}A^{-1}|$。
对于一个 $n$ 阶方阵 $M$ 和常数 $c$，有 $|cM| = c^n|M|$。这里 $A^{-1}$ 是 $n$ 阶方阵，所以：
$|\frac{1}{k}A^{-1}| = (\frac{1}{k})^n |A^{-1}| = \frac{1}{k^n} |A^{-1}|$。
选项 A 给出的是 $\frac{1}{k}|A^{-1}|$，这只有在 $n=1$ 时才成立。对于一般的 $n$ 阶方阵，该等式不一定成立。
因此，选项 A 错误。
选项 B 分析：
我们需要求分块对角矩阵 $\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix}$ 的逆矩阵。
设其逆矩阵为 $\begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix}$，则有：
$\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & O \\ O & I \end{pmatrix}$ （其中 $I$ 为 $n$ 阶单位矩阵）
展开得到：
$AX + OZ = I \implies AX = I \implies X = A^{-1}$
$AY + OW = O \implies AY = O \implies Y = O$ （因为 $A$ 可逆）
$OX + BZ = O \implies BZ = O \implies Z = O$ （因为 $B$ 可逆）
$OY + BW = I \implies BW = I \implies W = B^{-1}$
所以，$\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{pmatrix}$。
这与选项 B 给出的表达式完全一致。
因此，选项 B 正确。
选项 C 分析：
我们需要判断 $(AB)^{-1}$ 是否等于 $A^{-1}B^{-1}$。
根据矩阵乘积的逆的性质，$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。
由于矩阵乘法一般不满足交换律，即 $B^{-1}A^{-1}$ 不一定等于 $A^{-1}B^{-1}$。
因此，选项 C 错误。
选项 D 分析：
我们需要判断 $(A - B)^{-1}$ 是否等于 $A^{-1} - B^{-1}$。
矩阵的加减法没有类似于 $(A+B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$ 的简单公式。
我们可以举一个反例：设 $A = I$（单位矩阵），$B = -I$。
则 $A - B = I - (-I) = 2I$。
$(A - B)^{-1} = (2I)^{-1} = \frac{1}{2}I$。
而 $A^{-1} - B^{-1} = I^{-1} - (-I)^{-1} = I - (-I) = 2I$。
显然 $\frac{1}{2}I \neq 2I$。
因此，选项 D 错误。
选项 E 分析：
我们需要计算 $[(AB)^T]^{-1}$ 并与 $(A^{-1})^T(B^{-1})^T$ 进行比较。
根据矩阵转置和求逆的性质：
$[(AB)^T]^{-1} = (B^T A^T)^{-1} = (A^T)^{-1} (B^T)^{-1} = (A^{-1})^T (B^{-1})^T$。
这与选项 E 给出的表达式完全一致。
因此，选项 E 正确。
综上所述，命题一定正确的是 B 和 E。
正确答案：B, E