求下列函数的拉普拉斯变换。(1) f(t) = } sin t, & 0 leq t leq pi 0, & t < 0, t > pi u(t)

本题主要考查分段函数和含单位阶跃函数的函数的拉普拉斯变换，解题思路是根据拉普拉斯变换的定义式$\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$，分别对两个函数进行积分计算。

（1）对于函数$f(t) = \begin{cases} \sin t, & 0 \leq t \leq \pi \\ 0, & t < 0, t > \pi \end{cases}$

根据拉普拉斯变换的定义，可得：
$\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt=\int_{0}^{\pi}\sin t\cdot e^{-st}dt$
接下来使用分部积分法计算$\int e^{-st} \sin t \, dt$。
设$u = \sin t$，$dv = e^{-st}dt$，则$du = \cos tdt$，$v = -\frac{1}{s}e^{-st}$。
根据分部积分公式$\int u dv = uv - \int v du$，可得：
$\int e^{-st} \sin t \, dt = -\frac{1}{s}e^{-st}\sin t + \frac{1}{s}\int e^{-st}\cos tdt$
对于$\int e^{-st}\cos tdt$，再使用一次分部积分法。
设$u = \cos t$，$dv = e^{-st}dt$，则$du = -\sin tdt$，$v = -\frac{1}{s}e^{-st}$。
根据分部积分公式可得：
$\int e^{-st}\cos tdt = -\frac{1}{s}e^{-st}\cos t - \frac{1}{s}\int e^{-st}\sin tdt$
将$\int e^{-st}\cos tdt$的结果代入$\int e^{-st} \sin t \, dt$的表达式中：
$\begin{align*}\int e^{-st} \sin t \, dt&= -\frac{1}{s}e^{-st}\sin t + \frac{1}{s}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\cos t - \frac{1}{s}\int e^{-st}\sin tdt\right)\\\int e^{-st} \sin t \, dt&= -\frac{1}{s}e^{-st}\sin t - \frac{1}{s^2}e^{-st}\cos t - \frac{1}{s^2}\int e^{-st}\sin tdt\\\left(1 + \frac{1}{s^2}\right)\int e^{-st} \sin t \, dt&= -\frac{1}{s}e^{-st}\sin t - \frac{1}{s^2}e^{-st}\cos t\\\frac{s^2 + 1}{s^2}\int e^{-st} \sin t \, dt&= -\frac{e^{-st}}{s^2}(s\sin t + \cos t)\\\int e^{-st} \sin t \, dt&= -\frac{e^{-st}}{s^2 + 1}(s\sin t + \cos t)\end{align*}$
然后代入上下限$0$和$\pi$：
$\begin{align*}\mathcal{L}\{f(t)\}&=\left[-\frac{e^{-st}}{s^2 + 1}(s\sin t + \cos t)\right]_0^\pi\\&= -\frac{e^{-s\pi}}{s^2 + 1}(s\sin \pi + \cos \pi) - \left(-\frac{e^{-s\cdot0}}{s^2 + 1}(s\sin 0 + \cos 0)\right)\\&= -\frac{e^{-s\pi}}{s^2 + 1}(0 - 1) + \frac{1}{s^2 + 1}(0 + 1)\\&= \frac{1 + e^{-s\pi}}{s^2 + 1}\end{align*}$

（2）对于函数$f(t) = 3e^{-2t}u(t)$

因为单位阶跃函数$u(t)=\begin{cases}1, & t\geq0 \\ 0, & t<0\end{cases}$，所以当$t\geq0$时，$f(t)=3e^{-2t}$。
根据拉普拉斯变换的定义，可得：
$\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt=\int_{0}^{\infty}3e^{-2t}e^{-st}dt = 3\int_{0}^{\infty}e^{-(s + 2)t}dt$
计算积分$\int_{0}^{\infty}e^{-(s + 2)t}dt$：
$\int_{0}^{\infty}e^{-(s + 2)t}dt = \left[-\frac{1}{s + 2}e^{-(s + 2)t}\right]_0^\infty$
当$s + 2>0$时，$\lim\limits_{t\to\infty}e^{-(s + 2)t}=0$，则：
$\left[-\frac{1}{s + 2}e^{-(s + 2)t}\right]_0^\infty = 0 - \left(-\frac{1}{s + 2}e^{-(s + 2)\cdot0}\right)=\frac{1}{s + 2}$
所以$\mathcal{L}\{f(t)\}=3\times\frac{1}{s + 2}=\frac{3}{s + 2}$