题目
10 判断 (2分)设随机变量X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，则参数λ的矩估计量和最大似然估计量是相同的.A. √B. ×
10 判断 (2分)
设随机变量X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，则参数λ的矩估计量和最大似然估计量是相同的.
A. √
B. ×
题目解答
答案
A. √
解析
步骤 1：矩估计量的推导
对于参数为 $\lambda$ 的泊松分布，其期望值 $E(X) = \lambda$。矩估计量是通过将样本的矩与总体的矩相匹配来估计参数的。因此，使用样本均值 $\bar{X}$ 估计期望值，得 $\hat{\lambda}_{\text{矩}} = \bar{X}$。
步骤 2：最大似然估计量的推导
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$。似然函数为 $L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda^{X_i} e^{-\lambda}}{X_i!}$。取对数似然函数后，对 $\lambda$ 求导并令导数等于零，可以得到 $\hat{\lambda}_{\text{MLE}} = \bar{X}$。
步骤 3：比较矩估计量和最大似然估计量
两种方法的结果均为 $\bar{X}$，因此参数 $\lambda$ 的矩估计量和最大似然估计量相同。
对于参数为 $\lambda$ 的泊松分布，其期望值 $E(X) = \lambda$。矩估计量是通过将样本的矩与总体的矩相匹配来估计参数的。因此，使用样本均值 $\bar{X}$ 估计期望值，得 $\hat{\lambda}_{\text{矩}} = \bar{X}$。
步骤 2：最大似然估计量的推导
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$。似然函数为 $L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda^{X_i} e^{-\lambda}}{X_i!}$。取对数似然函数后，对 $\lambda$ 求导并令导数等于零，可以得到 $\hat{\lambda}_{\text{MLE}} = \bar{X}$。
步骤 3：比较矩估计量和最大似然估计量
两种方法的结果均为 $\bar{X}$，因此参数 $\lambda$ 的矩估计量和最大似然估计量相同。