总体 X sim N(mu, sigma^2), sigma^2 已知, 则总体均值 mu 的 1-alpha 置信区间是 ()。A. overline(X) pm u_(alpha/2) (sigma)/(sqrt(n))B. overline(X) pm t_(alpha/2)(n)(S)/(sqrt(n))C. overline(X) pm 3 (sigma)/(sqrt(n))D. overline(X) pm u_(alpha) (sigma)/(sqrt(n))

本题考查正态总体均值的置信区间的知识点。解题思路是根据已知条件，即总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 且 $\sigma^2$ 已知，利用正态分布的性质来推导总体均值 $\mu$ 的 $1 - \alpha$ 置信区间。

详细推导过程

1：构造枢轴量
设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，样本均值为 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$。
由于总体服从正态分布且方差 $\sigma^2$ 已知，根据正态分布的性质可知，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，即 $\overline{X} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$。
对 $\overline{X}$ 进行标准化，构造枢轴量 $U=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$，其中 $N(0,1)$ 表示标准正态分布。

详细推导过程2：确定分位数

对于给定的置信水平 $1 - \alpha$，我们要找到两个分位数 $u_{\alpha/2}$ 和 $-u_{\alpha/2}$，使得 $P(-u_{\alpha/2} 根据标准正态分布的对称性，$P(-u_{\alpha/2}<\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}

详细推导过程3：求解 $\mu$ 的置信区间

对不等式 $- $u{\alpha/2}<\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}<u{\alpha/2}$ 进行变形：

• 首先，不等式各项同时乘以 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，得到 $-u_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\overline{X}-\mu
• 然后，不等式各项同时减去 $\overline{X}$，得到 $-\overline{X}-u_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<-\mu<-\overline{X}+u_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
• 最后不等式各项同时乘以 $-1$，不等号方向改变，得到 $\overline{X}-u_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\overline{X}+u_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
  所以总体均值 $\mu$ 的 $1 - \alpha$ 置信区间为 $(\overline{X}-u_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+u_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$，即 $\overline{X} \pm u_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

选项B：$\overline{X} \pm t_{\alpha/2}(n)\frac{S}{\sqrt{n}}$ 是在总体方差 $\sigma^2$ 未知时，用样本标准差 $S$ 代替总体标准差 $\sigma$ 得到的总体均值 $\mu$ 的置信区间，不符合本题 $\sigma^2$ 已知的条件。
选项C：$\overline{X} \pm 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 是在特殊情况下（如 $1 - \alpha = 0.9974$ 时，$u_{\alpha/2}=3$）的置信区间，不是通用的 $1 - \alpha$ 置信区间。
选项D：$\overline{X} \pm u_{\alpha\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 不符合置信区间的推导结果。