y(t) = f^2(t) 是（）系统。A. 线性、时变B. 非线性、时变C. 非线性、时不变D. 线性、时不变

本题考查系统的线性和时不变性的判断。解题思路是分别根据线性系统和时不变系统的定义来判断系统 $y(t) = f^2(t)$ 的性质。

1. 判断系统的线性

线性系统需要满足可加性和齐次性。

• 可加性：设输入信号 $f_1(t)$ 对应的输出为 $y_1(t)$，输入信号 $f_2(t)$ 对应的输出为 $y_2(t)$。
  • 对于输入 $f_1(t)$，有 $y_1(t)=f_1^2(t)$；对于输入 $f_2(t)$，有 $y_2(t)=f_2^2(t)$。
  • 当输入为 $f_3(t)=f_1(t)+f_2(t)$ 时，输出 $y_3(t)=f_3^2(t)=(f_1(t)+f_2(t))^2$。
  • 根据完全平方公式 $(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，可得 $y_3(t)=f_1^2(t)+2f_1(t)f_2(t)+f_2^2(t)$。
  • 而 $y_1(t)+y_2(t)=f_1^2(t)+f_2^2(t)$。
  • 因为 $y_3(t)\neq y_1(t)+y_2(t)$，所以系统不满足可加性。
• 齐次性：设输入信号为 $f(t)$，对应的输出为 $y(t)=f^2(t)$。当输入变为 $af(t)$（$a$ 为常数）时，输出 $y'(t)=(af(t))^2=a^2f^2(t)$。
  • 而 $ay(t)=af^2(t)$。
  • 因为 $y'(t)\neq ay(t)$，所以系统不满足齐次性。
    由于系统既不满足可加性也不满足齐次性，所以该系统是非线性系统。

2. 判断系统的时不变性

时不变系统的定义为：若输入信号 $f(t)$ 产生的输出为 $y(t)$，则输入信号 $f(t - t_0)$ 产生的输出为 $y(t - t_0)$。

• 已知输入为 $f(t)$ 时，输出 $y(t)=f^2(t)$。
• 当输入为 $f(t - t_0)$ 时，输出 $y_1(t)=[f(t - t_0)]^2$。
• 而 $y(t - t_0)=[f(t - t_0)]^2$。
• 因为 $y_1(t)=y(t - t_0)$，所以该系统是时不变系统。