题目
设总体sim N(0,4)，X的样本sim N(0,4)要使sim N(0,4)服从sim N(0,4)分布，则sim N(0,4)=_(答案写成分数形式)
设总体
，X的样本
要使
服从
分布，则
=_(答案写成分数形式)
题目解答
答案
解：∵总体，X的样本要使服从分布
根据分布的定义及性质可知
∴
解析
步骤 1：确定总体分布
给定总体$X\sim N(0,4)$，即$X$服从均值为0，方差为4的正态分布。
步骤 2：确定样本线性组合的分布
考虑样本$X_1$和$X_2$，它们都是来自总体$X$的独立样本。因此，$X_1$和$X_2$都服从$N(0,4)$。对于线性组合${X}_{1}-2{X}_{2}$，其均值为$0-2\cdot0=0$，方差为$4+4\cdot4=20$，因此${X}_{1}-2{X}_{2}\sim N(0,20)$。
步骤 3：确定$Y$的分布
要使$Y=a{({X}_{1}-2{X}_{2})}^{2}$服从分布，即$\sqrt{a}({X}_{1}-2{X}_{2})$服从标准正态分布$N(0,1)$。根据步骤2，${X}_{1}-2{X}_{2}\sim N(0,20)$，所以$\sqrt{a}({X}_{1}-2{X}_{2})\sim N(0,20a)$。要使$\sqrt{a}({X}_{1}-2{X}_{2})$服从$N(0,1)$，则$20a=1$。
步骤 4：求解$a$
由$20a=1$，解得$a=\dfrac{1}{20}$。
给定总体$X\sim N(0,4)$，即$X$服从均值为0，方差为4的正态分布。
步骤 2：确定样本线性组合的分布
考虑样本$X_1$和$X_2$，它们都是来自总体$X$的独立样本。因此，$X_1$和$X_2$都服从$N(0,4)$。对于线性组合${X}_{1}-2{X}_{2}$，其均值为$0-2\cdot0=0$，方差为$4+4\cdot4=20$，因此${X}_{1}-2{X}_{2}\sim N(0,20)$。
步骤 3：确定$Y$的分布
要使$Y=a{({X}_{1}-2{X}_{2})}^{2}$服从分布，即$\sqrt{a}({X}_{1}-2{X}_{2})$服从标准正态分布$N(0,1)$。根据步骤2，${X}_{1}-2{X}_{2}\sim N(0,20)$，所以$\sqrt{a}({X}_{1}-2{X}_{2})\sim N(0,20a)$。要使$\sqrt{a}({X}_{1}-2{X}_{2})$服从$N(0,1)$，则$20a=1$。
步骤 4：求解$a$
由$20a=1$，解得$a=\dfrac{1}{20}$。