题目
1.已知离散型均匀总体X,其分布律为-|||-X 2 4 6-|||-p dfrac (1)(3) dfrac (1)(3) dfrac (1)(3)-|||-取容量为 n=54 的样本,求:-|||-(2)样本均值X超过4.5的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算总体均值和方差
总体均值 $\mu = E(X) = 2 \times \dfrac{1}{3} + 4 \times \dfrac{1}{3} + 6 \times \dfrac{1}{3} = 4$。
总体方差 $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2 = (2^2 \times \dfrac{1}{3} + 4^2 \times \dfrac{1}{3} + 6^2 \times \dfrac{1}{3}) - 4^2 = \dfrac{28}{3} - 16 = \dfrac{4}{3}$。
步骤 2：计算样本均值的分布
样本均值 $X$ 的分布近似为正态分布，即 $X \sim N(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n})$，其中 $\mu = 4$，$\sigma^2 = \dfrac{4}{3}$，$n = 54$。
步骤 3：计算样本均值超过4.5的概率
$P(X > 4.5) = P(Z > \dfrac{4.5 - 4}{\sqrt{\dfrac{4}{3 \times 54}}}) = P(Z > 2.25)$，其中 $Z$ 为标准正态分布。
步骤 4：查标准正态分布表
查标准正态分布表，$P(Z > 2.25) = 1 - P(Z \leq 2.25) = 1 - 0.9878 = 0.0122$。
总体均值 $\mu = E(X) = 2 \times \dfrac{1}{3} + 4 \times \dfrac{1}{3} + 6 \times \dfrac{1}{3} = 4$。
总体方差 $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2 = (2^2 \times \dfrac{1}{3} + 4^2 \times \dfrac{1}{3} + 6^2 \times \dfrac{1}{3}) - 4^2 = \dfrac{28}{3} - 16 = \dfrac{4}{3}$。
步骤 2：计算样本均值的分布
样本均值 $X$ 的分布近似为正态分布，即 $X \sim N(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n})$，其中 $\mu = 4$，$\sigma^2 = \dfrac{4}{3}$，$n = 54$。
步骤 3：计算样本均值超过4.5的概率
$P(X > 4.5) = P(Z > \dfrac{4.5 - 4}{\sqrt{\dfrac{4}{3 \times 54}}}) = P(Z > 2.25)$，其中 $Z$ 为标准正态分布。
步骤 4：查标准正态分布表
查标准正态分布表，$P(Z > 2.25) = 1 - P(Z \leq 2.25) = 1 - 0.9878 = 0.0122$。