设 (X_1, X_2, ..., X_n) 是正态总体 X sim N(mu, sigma^2) 的样本，样本方差为 S^2（无偏）。则统计量 (n-1)S^2 / sigma^2 服从()。A. 正态分布B. t分布C. chi^2分布D. F分布

考查要点：本题主要考查正态总体下样本方差的分布性质，以及卡方分布的定义与应用。

解题核心思路：

1. 样本方差的无偏性：明确样本方差$S^2$的计算公式为$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$，其无偏性体现在分母为$n-1$。
2. 卡方分布的构造：将统计量$(n-1)S^2/\sigma^2$展开后，发现其本质是标准化后的离差平方和，符合卡方分布的定义。
3. 自由度确定：由于样本均值$\bar{X}$的计算消耗了一个自由度，最终统计量服从自由度为$n-1$的卡方分布。

破题关键点：

• 公式变形：将统计量表达式与卡方分布的定义形式对应。
• 定理应用：直接利用正态总体下平方和服从卡方分布的结论。

步骤1：写出样本方差的表达式
样本方差$S^2$的无偏估计公式为：
$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$

步骤2：代入统计量表达式
将$S^2$代入统计量$(n-1)S^2/\sigma^2$：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{(n-1)}{\sigma^2} \cdot \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$

步骤3：应用卡方分布定理
根据正态分布的性质，当$X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$时，标准化后的离差平方和：
$\sum_{i=1}^n \left( \frac{X_i - \bar{X}}{\sigma} \right)^2 = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$
服从自由度为$n-1$的卡方分布，即：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$