下列极限中，哪一个与第二个重要极限 lim_(x to 0) (1 + x)^1/x = e 相关？A. lim_(x to 0) (1+2x)^1/xB. lim_(x to 0) (cos x - 1)/(x)C. lim_(x to 0) (tan x - x)/(x^3)D. lim_(x to 0) (x^2)/(sin x)

本题考查对第二个重要极限 $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$ 的理解和应用，解题思路是判断每个选项的极限形式是否能通过变形转化为与第二个重要极限相关的形式。

选项A

对于极限 $\lim_{x \to 0} (1+2x)^{1/x}$，我们可以对其进行变形。
设 $t = 2x$，当 $x \to 0$ 时，$t \to 0$，且 $x=\frac{t}{2}$。
则 $\lim_{x \to 0} (1+2x)^{1/x}=\lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{2}{t}}$。
根据指数运算法则 $(a^m)^n=a^{mn}$，可将上式进一步变形为 $\lim_{t \to 0} [(1 + t)^{\frac{1}{t}}]^2$。
因为 $\lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$，所以 $\lim_{t \to 0} [(1 + t)^{\frac{1}{t}}]^2=e^2$，该极限与第二个重要极限相关。

选项B

对于极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}$，我们使用等价无穷小替换。
当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x\sim\frac{1}{2}x^2$，则 $\cos x - 1\sim-\frac{1}{2}x^2$。
所以 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2}x^2}{x}=\lim_{x \to 0} (-\frac{1}{2}x)=0$，此极限与第二个重要极限无关。

选项C

对于极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$，我们使用洛必达法则。
对分子分母分别求导，根据求导公式 $(\tan x)^\prime=\sec^2 x$，$x^\prime = 1$，$x^3^\prime = 3x^2$，可得：
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}=\lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{3x^2}$。
又因为 $\sec^2 x - 1=\tan^2 x$，当 $x \to 0$ 时，$\tan x\sim x$，则 $\tan^2 x\sim x^2$。
所以 $\lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{3x^2}=\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{3x^2}=\frac{1}{3}$，该极限与第二个重要极限无关。

选项D

对于极限 $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin x}$，我们使用等价无穷小替换。
当 $x \to 0$ 时，$\sin x\sim x$。
所以 $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin x}=\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x}=\lim_{x \to 0} x = 0$，此极限与第二个重要极限无关。