在总体Xsim N(5,16)中随机地抽取一个容量为36的样本，则样本均值overline(X)落在与6之间的概率=(已知：Phi(0.375)=0.6480,Phi(1.5)=0.9332) (答案用小数表示并保留四位小数)

为了确定样本均值$\overline{X}$落在4与6之间的概率，我们首先需要找到样本均值$\overline{X}$的分布。已知总体$X$服从正态分布$N(5, 16)$，即总体均值$\mu = 5$，总体方差$\sigma^2 = 16$，总体标准差$\sigma = 4$。 当从正态总体中抽取容量为$n$的样本时，样本均值$\overline{X}$也服从正态分布，其均值为$\mu$，方差为$\sigma^2/n$。这里，样本容量$n = 36$，因此样本均值$\overline{X}$的方差为$\sigma^2/n = 16/36 = \frac{4}{9}$，样本均值$\overline{X}$的标准差为$\sigma/\sqrt{n} = 4/6 = \frac{2}{3}$。 因此，样本均值$\overline{X}$服从正态分布$N\left(5, \left(\frac{2}{3}\right)^2\right)$或$N\left(5, \frac{4}{9}\right)$。 我们需要找到概率$P(4 < \overline{X} < 6)$。为此，我们将$\overline{X}$标准化为标准正态变量$Z$，使用公式$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$。 对于$\overline{X} = 4$： \[Z = \frac{4 - 5}{\frac{2}{3}} = \frac{-1}{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2} = -1.5\] 对于$\overline{X} = 6$： \[Z = \frac{6 - 5}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} = 1.5\] 因此，我们需要找到概率$P(-1.5 < Z < 1.5)$。这可以写为： \[P(-1.5 < Z < 1.5) = P(Z < 1.5) - P(Z < -1.5)\] 由于标准正态分布关于零对称，$P(Z < -1.5) = 1 - P(Z < 1.5)$。因此： \[P(-1.5 < Z < 1.5) = P(Z < 1.5) - (1 - P(Z < 1.5)) = 2P(Z < 1.5) - 1\] 已知$P(Z < 1.5) = \Phi(1.5) = 0.9332$，我们有： \[P(-1.5 < Z < 1.5) = 2 \times 0.9332 - 1 = 1.8664 - 1 = 0.8664\] 因此，样本均值$\overline{X}$落在4与6之间的概率是$\boxed{0.8664}$。