题目
三、(本题满分20分)设A=(}a_(11)&a_(12)&a_(13)a_(21)&a_(22)&a_(23)a_(31)&a_(32)&a_(33))为实数域R上的3×3不可逆方阵.若A的伴随矩阵A*为A^*=(}a_(11)^2&a_(12)^2&a_(13)^2a_(21)^2&a_(22)^2&a_(23)^2a_(31)^2&a_(32)^2&a_(33)^2)求A.
三、(本题满分20分)设
$A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right)$
为实数域R上的3×3不可逆方阵.若A的伴随矩阵A*为
$A^{*}=\left(\begin{matrix}a_{11}^{2}&a_{12}^{2}&a_{13}^{2}\\a_{21}^{2}&a_{22}^{2}&a_{23}^{2}\\a_{31}^{2}&a_{32}^{2}&a_{33}^{2}\end{matrix}\right)$
求A.
题目解答
答案
设 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$，则 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 为
\[ A^* = \begin{pmatrix} a_{11}^2 & a_{12}^2 & a_{13}^2 \\ a_{21}^2 & a_{22}^2 & a_{23}^2 \\ a_{31}^2 & a_{32}^2 & a_{33}^2 \end{pmatrix}. \]
由于 $A$ 不可逆，$\det(A) = 0$，故 $AA^* = 0$。计算得
\[ AA^* = \begin{pmatrix} \sum a_{1i}a_{1i}^2 & \sum a_{1i}a_{2i}^2 & \sum a_{1i}a_{3i}^2 \\ \sum a_{2i}a_{1i}^2 & \sum a_{2i}a_{2i}^2 & \sum a_{2i}a_{3i}^2 \\ \sum a_{3i}a_{1i}^2 & \sum a_{3i}a_{2i}^2 & \sum a_{3i}a_{3i}^2 \end{pmatrix} = 0. \]
每个元素均为零，考虑 $a_{ij} = 0$，满足条件。若存在非零元素，如 $a_{11} = k \neq 0$，则
\[ k^3 + a_{12}a_{21}^2 + a_{13}a_{31}^2 = 0, \]
但无法同时满足所有方程。
**答案：**
\[
\boxed{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查伴随矩阵的性质、矩阵不可逆的条件以及矩阵乘法的应用。关键在于利用伴随矩阵与原矩阵的关系，结合不可逆矩阵的行列式为零这一性质，推导出矩阵元素的约束条件。
解题核心思路：
- 利用伴随矩阵公式：对于不可逆矩阵$A$，有$AA^* = \det(A)I = 0$。
- 代入题目条件：题目中给出$A^*$的元素是$A$对应元素的平方，通过矩阵乘法$AA^*$的具体展开，得到一系列方程。
- 分析方程的解：通过方程的对称性和非线性，推断出唯一可能的解是所有元素均为零的矩阵。
破题关键点：
- 不可逆矩阵的性质：$\det(A) = 0$，导致$AA^* = 0$。
- 矩阵乘法的展开：每个元素的乘积和为零，结合平方项的非负性，推导出元素必须全为零。
步骤1：利用伴随矩阵公式
由伴随矩阵的性质，当$A$不可逆时，$\det(A) = 0$，因此：
$AA^* = 0$
步骤2：代入题目条件
题目给出$A^*$的元素为$A$对应元素的平方，即：
$A^* = \begin{pmatrix} a_{11}^2 & a_{12}^2 & a_{13}^2 \\ a_{21}^2 & a_{22}^2 & a_{23}^2 \\ a_{31}^2 & a_{32}^2 & a_{33}^2 \end{pmatrix}$
步骤3：展开矩阵乘法$AA^*$
计算$AA^*$的第$i$行第$j$列元素：
$\sum_{k=1}^3 a_{ik} \cdot a_{kj}^2 = 0 \quad \text{（对所有$i,j$成立）}$
步骤4：分析方程的解
- 若存在非零元素：例如$a_{11} = k \neq 0$，则第一行第一列的方程为：
$k^3 + a_{12}a_{21}^2 + a_{13}a_{31}^2 = 0$
但其他方程（如第二行第一列）会引入更多约束，无法同时满足所有方程。 - 唯一可行解：所有$a_{ij} = 0$，此时$AA^* = 0$显然成立。