题目

9.判定下列曲线的凹凸性：(1)y=4x-x^2;(2)y=x+(1)/(x)(x>0);

9.判定下列曲线的凹凸性： (1)$y=4x-x^{2}$; (2)$y=x+\frac{1}{x}(x>0)$;

题目解答

(1) 对 $y = 4x - x^2$，求导得 $y' = 4 - 2x$，再求导得 $y'' = -2$。
由于 $y'' < 0$，函数在定义域内向下凸（或称凹）。

(2) 对 $y = x + \frac{1}{x}$（$x > 0$），求导得 $y' = 1 - \frac{1}{x^2}$，再求导得 $y'' = \frac{2}{x^3}$。
由于 $y'' > 0$（$x > 0$），函数在区间 $(0, +\infty)$ 内向上凹（或称凸）。

答案：
(1) 曲线 $y = 4x - x^2$ 向下凸（或凹）。
(2) 曲线 $y = x + \frac{1}{x}$（$x > 0$）向上凹（或凸）。

$\boxed{ \begin{array}{cc} \text{(1) 向下凸（或凹）} \\ \text{(2) 向上凹（或凸）} \end{array} }$

本题主要考查利用函数的二阶导数来判定曲线的凹凸性。解题的关键思路是先求出函数的一阶导数，再对一阶导数求导得到二阶导数，然后根据二阶导数在定义域内的正负性来判断曲线的凹凸性：若二阶导数大于零，则曲线向上凹（或称凸）；若二阶导数小于零，则曲线向下凸（或称凹）。

（1）对于曲线$y = 4x - x^2$

第一步：求一阶导数$y'$
根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，常数的导数为$0$，对$y = 4x - x^2$求导：
$y^\prime=(4x - x^2)^\prime=(4x)^\prime-(x^2)^\prime=4 - 2x$
第二步：求二阶导数$y''$
对$y^\prime = 4 - 2x$再次求导：
$y^{\prime\prime}=(4 - 2x)^\prime=(4)^\prime-(2x)^\prime=0 - 2=-2$
第三步：判断凹凸性
因为$y^{\prime\prime}=-2\lt{}0$，所以函数$y = 4x - x^2$在其定义域$R$内向下凸（或称凹）。

（2）对于曲线$y = x + \frac{1}{x}(x\gt{}0)$

第一步：求一阶导数$y'$
将$y = x + \frac{1}{x}=x+x^{-1}$，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$求导：
$y^\prime=(x+x^{-1})^\prime=(x)^\prime+(x^{-1})^\prime=1 - x^{-2}=1 - \frac{1}{x^2}$
第二步：求二阶导数$y''$
对$y^\prime = 1 - \frac{1}{x^2}=1 - x^{-2}$再次求导：
$y^{\prime\prime}=(1 - x^{-2})^\prime=(1)^\prime-(x^{-2})^\prime=0 - (-2)x^{-3}=\frac{2}{x^3}$
第三步：判断凹凸性
因为$x\gt{}0$，所以$x^3\gt{}0$，则$y^{\prime\prime}=\frac{2}{x^3}\gt{}0$，所以函数$y = x + \frac{1}{x}(x\gt{}0)$在区间$(0, +\infty)$内向上凹（或称凸）。