题目

25.（2.0分）设E(i,j)是互换单位矩阵i、j两行（列）所得的n阶初等方阵，则|E(i,j)|=_____.

25.（2.0分）设E(i,j)是互换单位矩阵i、j两行（列）所得的n阶初等方阵，则 $|E(i,j)|=$_____.

题目解答

答案

单位矩阵 $ I $ 的行列式为 1。交换单位矩阵的第 $ i $ 行和第 $ j $ 行（或第 $ i $ 列和第 $ j $ 列）得到初等方阵 $ E(i, j) $。根据行列式性质，交换两行（或两列）会改变行列式的符号。因此，$ |E(i, j)| = -1 $。

答案： $\boxed{-1}$

解析

本题考查初等方阵的行列式计算。解题思路是根据行列式的性质，通过单位矩阵的行列式来推导互换单位矩阵两行（列）所得初等方阵的行列式。

  1. 首先明确单位矩阵 $I$ 的行列式性质：单位矩阵 $I$ 的行列式 $|I| = 1$。
  2. 然后考虑互换单位矩阵两行（列）的操作对行列式的影响：根据行列式的性质，交换单位矩阵的第 $i$ 行和第 $j$ 行（或第 $i$ 列和第 $j$ 列）会改变行列式的符号。
  3. 最后得出互换单位矩阵两行（列）所得初等方阵 $E(i,j)$ 的行列式：因为交换两行（或两列）会改变行列式的符号，所以 $|E(i,j)| = -|I|$。
  4. 计算结果：将 $|I| = 1$ 代入 $|E(i,j)| = -|I|$ ，可得 $|E(i,j)| = -1$。