题目

20. (5.0分) 线性方程组}x_{1)-x_(2)-x_(3)+x_(4)=0x_(1)-x_(2)+x_(3)-3x_(4)=1x_(1)-x_(2)-2x_(3)+3x_(4)=-(1)/(2).有唯一解. A 对 B 错

20. (5.0分) 线性方程组$\left\{\begin{matrix}x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=0\\x_{1}-x_{2}+x_{3}-3x_{4}=1\\x_{1}-x_{2}-2x_{3}+3x_{4}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$有唯一解. A 对 B 错

题目解答

答案

为了确定线性方程组 \[ \left\{ \begin{matrix} x_{1} - x_{2} - x_{3} + x_{4} = 0 \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} - 3x_{4} = 1 \\ x_{1} - x_{2} - 2x_{3} + 3x_{4} = -\frac{1}{2} \end{matrix} \right. \] 是否有唯一解，我们需要分析该方程组的增广矩阵。增广矩阵为： \[ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & -2 & 3 & -\frac{1}{2} \end{array} \right] \] 我们将使用行阶梯形来简化这个矩阵。首先，从第二行和第三行中减去第一行： \[ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -\frac{1}{2} \end{array} \right] \] 接下来，将第三行乘以2，然后将结果加到第二行： \[ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -\frac{1}{2} \end{array} \right] \] 现在，将第三行乘以-1： \[ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & \frac{1}{2} \end{array} \right] \] 最后，将第三行加到第一行： \[ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 0 & -1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & \frac{1}{2} \end{array} \right] \] 简化后的行阶梯形矩阵为： \[ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 0 & -1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -2 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \] 这个矩阵有两行非零行，这意味着我们有2个主变量和2个自由变量。方程组可以写为： \[ \begin{cases} x_1 - x_2 - x_4 = \frac{1}{2} \\ x_3 - 2x_4 = \frac{1}{2} \end{cases} \] 我们可以将主变量 $x_1$ 和 $x_3$ 用自由变量 $x_2$ 和 $x_4$ 表示： \[ \begin{cases} x_1 = x_2 + x_4 + \frac{1}{2} \\ x_3 = 2x_4 + \frac{1}{2} \end{cases} \] 由于有自由变量，方程组有无穷多解，而不是唯一解。因此，答案是： \[ \boxed{B} \]

解析

本题考查线性方程组解的判定，解题思路是通过对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，根据行阶梯形矩阵中非零行的数量确定主变量和自由变量的个数，进而判断方程组解的情况。

  1. 首先写出给定线性方程组的增广矩阵：
    • 对于线性方程组$\left\{\begin{matrix}x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=0\\x_{1}-x_{2}+x_{3}-3x_{4}=1\\x_{1}-x_{2}-2x_{3}+3x_{4}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$，其增广矩阵为$\left[\begin{array}{cccc|c}1& -1& -1& 1& 0\\1& -1& 1& -3& 1\\1& -1& -2& 3& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$。
  2. 然后进行初等行变换：
    • 第二行减去第一行，第三行减去第一行，根据矩阵减法规则$\left[\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cccc|c}b_{11}&b_{12}&b_{13}&b_{14}&b_{15}\\b_{11}&b_{12}&b_{13}&b_{14}&b_{15}\\b_{11}&b_{12}&b_{13}&b_{14}&b_{15}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc|c}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}&a_{13}-b_{13}&a_{14}-b_{14}&a_{15}-b_{15}\\a_{21}-b_{11}&a_{22}-b_{12}&a_{23}-b_{13}&a_{24}-b_{14}&a_{25}-b_{15}\\a_{31}-b_{11}&a_{32}-b_{12}&a_{33}-b_{13}&a_{34}-b_{14}&a_{35}-b_{15}\end{array}\right]$，可得$\left[\begin{array}{cccc|c}1& -1& -1& 1& 0\\0& 0& 2& -4& 1\\0& 0& -1& 2& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$。
    • 第三行乘以$2$，即$\left[\begin{array}{cccc|c}0& 0& -1\times2& 2\times2& -\frac{1}{2}\times2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc|c}0& 0& -2& 4& -1\end{array}\right]$，再将其加到第二行，可得$\left[\begin{array}{cccc|c}1& -1& -1& 1& 0\\0& 0& 2+( - 2)& -4 + 4& 1+( - 1)\\0& 0& -1& 2& -\frac{1}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc|c}1& -1& -1& 1& 0\\0& 0& 0& 0& 0\\0& 0& -1& 2& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$。
    • 第三行乘以$-1$，即$\left[\begin{array}{cccc|c}0& 0& -1\times(-1)& 2\times(-1)& -\frac{1}{2}\times(-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc|c}0& 0& 1& -2& \frac{1}{2}\end{array}\right]$，得到$\left[\begin{array}{cccc|c}1& -1& -1& 1& 0\\0& 0& 0& 0& 0\\0& 0& 1& -2& \frac{1}{2}\end{array}\right]$。
    • 第三行加到第一行，可得$\left[\begin{array}{cccc|c}1+0& -1 + 0& -1+1& 1+( - 2)& 0+\frac{1}{2}\\0& 0& 0& 0& 0\\0& 0& 1& -2& \frac{1}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc|c}1& -1& 0& -1& \frac{1}{2}\\0& 0& 0& 0& 0\\0& 0& 1& -2& \frac{1}{2}\end{array}\right]$。
  3. 接着分析行阶梯形矩阵：
    • 行阶梯形矩阵$\left[\begin{array}{cccc|c}1& -1& 0& -1& \frac{1}{2}\\0& 0& 1& -2& \frac{1}{2}\\0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$有$2$行非零行，所以有$2$个主变量和$2$个自由变量。
  4. 最后判断方程组解的情况：
    • 方程组可写为$\begin{cases}x_1 - x_2 - x_4=\frac{1}{2}\\x_3 - 2x_4=\frac{1}{2}\end{cases}$，将主变量$x_1$和$x_3$用自由变量$x_2$和$x_4$表示为$\begin{cases}x_1 = x_2 + x_4+\frac{1}{2}\\x_3 = 2x_4+\frac{1}{2}\end{cases}$。
    • 因为存在自由变量，所以方程组有无穷多解，而不是唯一解。