设 A 为 3 阶可逆矩阵，则下列矩阵中与 A 等价的是()A. } 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

本题考查矩阵等价的概念以及可逆矩阵的性质。解题的关键在于明确矩阵等价的判定条件，即两个同型矩阵等价的充要条件是它们的秩相等，然后求出已知可逆矩阵$A$的秩，再分别计算各个选项矩阵的秩，找出与$A$秩相等的矩阵。

步骤一：求可逆矩阵$A$的秩

已知$A$为$3$阶可逆矩阵，根据可逆矩阵的性质：若一个$n$阶矩阵可逆，则该矩阵的秩等于$n$。所以$3$阶可逆矩阵$A$的秩$r(A)=3$。

步骤二：分别计算各选项矩阵的秩

• 选项A：矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，该矩阵非零行的行数为$1$，根据矩阵秩的定义，矩阵的秩等于其非零行的行数，所以此矩阵的秩$r_1 = 1$。
• 选项B：矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，其非零行的行数为$2$，则该矩阵的秩$r_2 = 2$。
• 选项C：矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，非零行的行数为$2$，所以此矩阵的秩$r_3 = 2$。
• 选项D：矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，这是一个$3$阶单位矩阵，非零行的行数为$3$，因此该矩阵的秩$r_4 = 3$。

步骤三：找出与$A$等价的矩阵

由于矩阵等价的充要条件是秩相等，而$r(A)=3$，只有选项D中矩阵的秩$r_4 = 3$与$A$的秩相等，所以与$A$等价的矩阵是选项D中的矩阵。