题目
假设总体sim N(mu ,(sigma )^2),sim N(mu ,(sigma )^2)已知，sim N(mu ,(sigma )^2)未知，现随机地抽取容量为25的样本，设样本均值sim N(mu ,(sigma )^2),样本方差为sim N(mu ,(sigma )^2)，则sim N(mu ,(sigma )^2)的置信度为95%的置信区间是（）A.sim N(mu ,(sigma )^2)B.sim N(mu ,(sigma )^2)C.sim N(mu ,(sigma )^2)D.sim N(mu ,(sigma )^2)
假设总体
,
已知，
未知，现随机地抽取容量为25的样本，设样本均值
,样本方差为
，则的置信度为95%的置信区间是（）
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
解：选C
∵总体服从正态分布，并且总体方差已知，总体均值未知
∴
又∵在置信度为95%的情况下，双侧估计为：
∴
所以的置信区间为：
故选C
解析
步骤 1：确定总体分布和已知参数
总体$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，其中$\sigma$已知，$\mu$未知。样本容量为25，样本均值为$\overline {x}$，样本方差为$S^2$。
步骤 2：确定样本均值的分布
由于总体服从正态分布，且总体方差已知，样本均值$\overline {x}$的分布为$N(\mu ,\dfrac {{\sigma }^{2}}{n})$，其中$n=25$。
步骤 3：确定置信区间
置信度为95%的置信区间，即双侧置信区间，对应于标准正态分布的临界值${\mu }_{0.025}$。因此，置信区间为：
$(\overline {x}\pm {\mu }_{0.025}\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}})$
将$n=25$代入，得到：
$(\overline {x}\pm {\mu }_{0.025}\dfrac {\sigma }{5})$
总体$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，其中$\sigma$已知，$\mu$未知。样本容量为25，样本均值为$\overline {x}$，样本方差为$S^2$。
步骤 2：确定样本均值的分布
由于总体服从正态分布，且总体方差已知，样本均值$\overline {x}$的分布为$N(\mu ,\dfrac {{\sigma }^{2}}{n})$，其中$n=25$。
步骤 3：确定置信区间
置信度为95%的置信区间，即双侧置信区间，对应于标准正态分布的临界值${\mu }_{0.025}$。因此，置信区间为：
$(\overline {x}\pm {\mu }_{0.025}\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}})$
将$n=25$代入，得到：
$(\overline {x}\pm {\mu }_{0.025}\dfrac {\sigma }{5})$