题目

36. (3.0分) 已知向量组a_(1)=(1,1,2,-2),a=(1,3,-x,2x),a_(3)=(1,-1,6,0)的秩为2,则x=____.

36. (3.0分) 已知向量组$a_{1}=(1,1,2,-2)$,$a=(1,3,-x,2x)$,$a_{3}=(1,-1,6,0)$的秩为2,则x=____.

题目解答

答案

将向量组构成矩阵 $A$：
$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & 3 & -1 \\2 & -x & 6 \\-2 & 2x & 0\end{pmatrix}$

由于秩为 2，任意 3 阶子式应为 0。考虑前 3 行：
$\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & 3 & -1 \\2 & -x & 6\end{vmatrix} = 18 - x - 8 - x - 6 = 4 - 2x$

令其为 0，解得 $x = 2$。但此方法未考虑所有条件，应使用线性相关性。

或使用方程组：
$\begin{cases}k_1 + k_2 + k_3 = 0 \\k_1 + 3k_2 - k_3 = 0 \\2k_1 - xk_2 + 6k_3 = 0 \\-2k_1 + 2xk_2 = 0\end{cases}$

由第 4 式得 $k_1 = xk_2$，代入得 $k_3 = -(x + 1)k_2$，代入第 2 式得 $2x + 4 = 0$，解得 $x = -2$。

答案： $\boxed{-2}$

解析

本题考查向量组的秩以及线性相关性的知识。解题思路是根据向量组的秩为$2$，可知向量组线性相关，即存在不全为零的数$k_1,k_2,k_3$，使得$k_1\vec{a_1}+k_2\vec{a_2}+k_3\vec{a_3}=\vec{0}$，由此可得到一个关于$k_1,k_2,k_3$和$x$的齐次线性方程组，通过求解该方程组来确定$x$的值。

已知向量组$\vec{a_1}=(1,1,2,-2)$，$\vec{a_2}=(1,3,-x,2x)$，$\vec{a_3}=(1,-1,6,0)$，由$k_1\vec{a_1}+k_2\vec{a_2}+k_3\vec{a_3}=\vec{0}$可得方程组：
$\begin{cases}k_1 + k_2 + k_3 = 0&(1)\\k_1 + 3k_2 - k_3 = 0&(2)\\2k_1 - xk_2 + 6k_3 = 0&(3)\\-2k_1 + 2xk_2 = 0&(4)\end{cases}$

  1. 由方程$(4)$：
    • 对$-2k_1 + 2xk_2 = 0$进行化简，两边同时除以$2$可得$-k_1 + xk_2 = 0$，移项得到$k_1 = xk_2$。
  2. 将$k_1 = xk_2$代入方程$(1)$：
    • 把$k_1 = xk_2$代入$k_1 + k_2 + k_3 = 0$，可得$xk_2 + k_2 + k_3 = 0$，提取公因式$k_2$得$(x + 1)k_2 + k_3 = 0$，移项得到$k_3 = -(x + 1)k_2$。
  3. 将$k_1 = xk_2$和$k_3 = -(x + 1)k_2$代入方程$(2)$：
    • 把$k_1 = xk_2$和$k_3 = -(x + 1)k_2$代入$k_1 + 3k_2 - k_3 = 0$，得到$xk_2 + 3k_2 - [-(x + 1)k_2] = 0$。
    • 去括号得$xk_2 + 3k_2+(x + 1)k_2 = 0$。
    • 提取公因式$k_2$得$(x + 3+x + 1)k_2 = 0$，即$(2x + 4)k_2 = 0$。
    • 因为$k_2$可以不为$0$（若$k_2 = 0$，则$k_1 = k_3 = 0$，不满足不全为零的条件），所以$2x + 4 = 0$。
    • 解方程$2x + 4 = 0$，移项得$2x=-4$，两边同时除以$2$，解得$x = -2$。