题目

5 判断(10分)设P为可逆方阵，若 B=P^-1AP ，则|A|=|B|.bigcircA.×bigcircB.√

5 判断(10分)设P为可逆方阵，若 $B=P^{-1}AP$ ，则|A|=|B|. $\bigcirc$A.× $\bigcirc$B.√

题目解答

答案

根据题意，$B = P^{-1}AP$，其中 $P$ 为可逆方阵。由行列式性质，有 \[ |B| = |P^{-1}AP| = |P^{-1}||A||P| \] 由于 $|P^{-1}| = \frac{1}{|P|}$，代入得 \[ |B| = \frac{1}{|P|} \cdot |A| \cdot |P| = |A| \] 因此，$|A| = |B|$。 或者，从相似矩阵的角度，$A$ 和 $B$ 相似，相似矩阵的行列式相等，故 $|A| = |B|$。 答案：$\boxed{B}$

解析

本题主要考察行列式的性质以及相似矩阵的性质，具体解题思路如下：

关键知识点

  1. 行列式的乘积性质：对于同阶方阵$M$、$N$，有$|MN|=|M||N|$，且该性质可推广到多个方阵相乘的情况，即$|ABC|=|A||B||C|$。
  2. 可逆矩阵的行列式性质：若$P$为可逆方阵，则$|P^{-1}|=\frac{1}{|P|}$，即逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。
  3. 相似矩阵的性质：若$B=P^{-1}AP$，则称$A$与$B$相似，相似矩阵的行列式必相等。

详细推导

已知$B=P^{-1}AP$，根据行列式乘积性质：
$|B|=|P^{-1}AP|=|P^{-1}||A||P|$
又因为$|P^{-1}|=\frac{1}{|P|}$，代入上式得：
$|B|=\frac{1}{|P|}\cdot|A|\cdot|P|=|A|$
因此，$|A|=|B|$成立。