题目

计算下列极限lim _(xarrow 0)((x+{e)^x)}^dfrac (2{x)}

计算下列极限 $\lim_{x\rightarrow0}\left(x+e^x\right)^{\frac{2}{x}}$

题目解答

答案

本题答案为： $e^4$

解：由题可得：极限 $\lim_{x\rightarrow0}\left(x+e^x\right)^{\frac{2}{x}}$ 满足“ $1^{\infty}$ ”型

因此凑极限有：极限 $\lim_{x\rightarrow0}\left(x+e^x\right)^{\frac{2}{x}}$ $=\lim_{x\rightarrow0}\left(e^x\right)^{\frac{2}{x}}\left(1+\frac{x}{e^x}\right)^{\frac{2}{x}}$ $=\lim_{x\rightarrow0}e^2\left(1+\frac{x}{e^x}\right)^{\frac{2}{x}\cdot\frac{e^x}{x}\cdot\frac{x}{e^x}}$ $=e^2\lim_{x\rightarrow0}\left(1+\frac{x}{e^x}\right)^{\frac{e^x}{x}\cdot\frac{2}{e^x}}$ $=e^2\left[\lim_{x\rightarrow0}\left(1+\frac{x}{e^x}\right)^{\frac{e^x}{x}}\right]^{\lim_{x\rightarrow0}\frac{2}{e^x}}$ $=e^2\left[\lim_{x\rightarrow0}\left(1+\frac{x}{e^x}\right)^{\frac{e^x}{x}}\right]^2$

根据常见极限等式： $\lim_{x\rightarrow0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e$ 可得：极限 $\lim_{x\rightarrow0}\left(x+e^x\right)^{\frac{2}{x}}=e^2\left[\lim_{x\rightarrow0}\left(1+\frac{x}{e^x}\right)^{\frac{e^x}{x}}\right]^2$ $=e^2\cdot e^2=e^4$

所以本题答案为： $e^4$