题目

设随机变量A为x∈(-5,7)上的均匀分布，则关于x的方程9x²+6Ax+A+6=0有实根的概率为

设随机变量A为x∈(-5,7)上的均匀分布，则关于x的方程9x²+6Ax+A+6=0有实根的概率为

题目解答

答案

方程 $9x^2 + 6Ax + A + 6 = 0$ 有实根的条件是判别式 $\Delta \geq 0$。计算得： \[ \Delta = (6A)^2 - 4 \times 9 \times (A + 6) = 36A^2 - 36(A + 6) = 36(A^2 - A - 6) \] 令 $\Delta \geq 0$，即 $A^2 - A - 6 \geq 0$，解得 $A \leq -2$ 或 $A \geq 3$。 随机变量 $A$ 服从均匀分布 $U(-5, 7)$，总区间长度为 $7 - (-5) = 12$。 满足条件的区间为 $(-5, -2]$ 和 $[3, 7)$，长度分别为 $3$ 和 $4$，总长度为 $7$。 因此，所求概率为： \[ P = \frac{7}{12} \] 答案：$\boxed{\frac{7}{12}}$

解析

本题考查均匀分布以及一元二次方程有实根的条件。解题思路如下：

  1. 首先根据一元二次方程有实根的条件，求出方程有实根时随机变量 $AA$ 的取值范围。
  2. 然后根据随机变量 $A$ 服从的均匀分布 $U(-5, 7)$，计算出满足条件的区间长度与总区间长度。
  3. 最后根据概率的定义，计算出方程有实根的概率。

下面进行详细计算：

  1. 对于一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$（$aa\neq0$），其判别式 $\Delta = b^{2}-4ac$ )。在方程 $9x^{2}+6Ax + A + 6 = 0$ 中，$a = 9$，$b = 6A$，$c = A + 6$，则判别式 $\Delta=(6A)^{22}-4\times9\times(A + 6)$。
    • 化简 $\Delta$：
      $\Delta = 36A^{2}-36(A + 6)=36(A^{2}-A - 6)$。
      • 令 $\Delta\geq0$，即 $A^{2}-A - 6\geq0$。
        • 因式分解得 \ $(A - 3)(A+2)\geq0$。
        • 解得 $A\leq - 2$或 $A\geq3$。
  2. 已知随机变量 $A$ 服从均匀分布 $U(-5, 7)$，总区间长度为 $7-(-5)=12$。
    • 满足 $A\leq - 2$ 且 $A\in(-5, 7)$ 的区间为 $(-5, -2]$，长度为 $-2-(-5)=3$。
    • 满足 $A\geq3$ 且 $A\in(-5, 7)$ 的区间为 $[3, 7)$，长度为 $7 - 3 = 4$。
    • 满足条件的区间总长度为 $3 + 4 = 7$。
  3. 根据概率的定义，所求概率 $P=\frac{满足条件的区间长度}{总区间长度}$。
    • 则 $P=\frac{7}{12}$。