题目

2.设_(1)(x)_(2)... ,(x)_(n)是来自_(1)(x)_(2)... ,(x)_(n)的样本,考虑如下假设检验问题:_(1)(x)_(2)... ,(x)_(n) _(1)(x)_(2)... ,(x)_(n) _(1)(x)_(2)... ,(x)_(n)若检验由拒绝域为_(1)(x)_(2)... ,(x)_(n)确定, (1)当_(1)(x)_(2)... ,(x)_(n)时求检验犯两类错误的概率；(2)如果要使得检验犯第二类错误的概率_(1)(x)_(2)... ,(x)_(n)_(1)(x)_(2)... ,(x)_(n)最小应取多少？(3)证明当_(1)(x)_(2)... ,(x)_(n)时,_(1)(x)_(2)... ,(x)_(n),_(1)(x)_(2)... ,(x)_(n).

2.设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是来自 $N(\mu,1)$ 的样本,考虑如下假设检验问题:

$H_0:\mu=2$ $v.s.$ $H_1:p=3.$

若检验由拒绝域为 $W=\left\{\bar{x}\ge2.6\right\}$ 确定,

(1)当 $n=20$ 时求检验犯两类错误的概率；

(2)如果要使得检验犯第二类错误的概率 $\beta\le 0.01,$ $n$ 最小应取多少？

(3)证明当 $n\rightarrow+∞$ 时, $\alpha\rightarrow0$ , $\beta\rightarrow0$ .

题目解答

答案

解：

(1)由定义知,犯第一类错误的概率为

$α=P(X\ge2.6|H_0)=P\left(\frac{\overline{x}-2}{\sqrt{\frac{1}{20}}}\ge\frac{2.6-2}{\sqrt{\frac{1}{20}}}\right)$

$=1-\Phi(2.68)=0.0037,$

这是因为在 $H_0$ 成立下, $\overline{x}\sim N(2,\frac{1}{20})$ .而犯第二类错误的概率为

$β=P(\overline{x}<2.6|H_1)=P(\frac{\overline{x}-3}{\sqrt{\frac{1}{20}}}<\frac{2.6-3}{\sqrt{\frac{1}{20}}})$

$=1-\Phi(1.79）=0.036 7,$

这是因为在 $H_1$ 成立下, $\overline{x}~N(3,\frac{1}{20})$ .

(2)若使犯第二类错误的概率满足

$β=P(\overline{x}<2.6|H_1)=P(\frac{\overline{x}-3}{\sqrt{\frac{1}{n}}}<\frac{2.6-3}{\sqrt{\frac{1}{n}}})\le0.01$

即 $1-\Phi(\frac{0.4}{\sqrt{\frac{1}{n}}})\le 0.01$ ,或 $\Phi(0.4\sqrt{n})\ge0.99$ ,查表得: $0.4\sqrt n≥2.33$ ,由此给出 $n≥33.93$ ,因而 $n$ 最小应取 $34$ ,才能使检验犯第二类错误的概率 $\beta\le 0.01$ .

(3）在样本量为 $n$ 时,检验犯第一类错误的概率为

$α=P(\overline{x}\ge2.6|H_0)=P(\frac{\overline{x}-2}{\sqrt{\frac{1}{n}}}\ge\frac{2.6-2}{\sqrt{\frac{1}{n}}})$ $=1-\Phi(0.6\sqrt{n}),$

当 $n→+\infty$ 时, $\Phi(0.6\sqrt{n})\rightarrow1$ ,即 $α→0$ .

检验犯第二类错误的概率为

$β=P(\overline{x}<2.6|H_1)=P\left(\frac{\overline{x}-2}{\sqrt{\frac{1}{n}}}<\frac{2.6-3}{\sqrt{\frac{1}{n}}}\right)$

$=\Phi(-0.4\sqrt{n})=1-\Phi(0.4\sqrt{n})$

当 $n\rightarrow\infty$ 时, $\Phi(0.4\sqrt{n})\rightarrow1$ ,即 $\beta\rightarrow0$ .

即当 $n\rightarrow+∞$ 时, $\alpha\rightarrow0$ , $\beta\rightarrow0$ 。