题目

设论域为 1,2,3，P(x) 表示“x>0”，Q(x) 表示“x<4”，确定公式 forall x(P(x) arrow Q(x)) 的真值

设论域为 $\{1,2,3\}$，$P(x)$ 表示“$x>0$”，$Q(x)$ 表示“$x<4$”，确定公式 $\forall x(P(x) \rightarrow Q(x))$ 的真值

题目解答

答案

论域为{1, 2, 3}，P(x)表示“x > 0”，Q(x)表示“x < 4”。
公式为：∀x(P(x) → Q(x))。
需判断对于所有x ∈ {1, 2, 3}，P(x) → Q(x)是否恒成立。

  1. 当x = 1时：

    • P(1)：1 > 0，为真。
    • Q(1)：1 < 4，为真。
    • P(1) → Q(1)：真 → 真，为真。

  2. 当x = 2时：

    • P(2)：2 > 0，为真。
    • Q(2)：2 < 4，为真。
    • P(2) → Q(2)：真 → 真，为真。

  3. 当x = 3时：

    • P(3)：3 > 0，为真。
    • Q(3)：3 < 4，为真。
    • P(3) → Q(3)：真 → 真，为真。

综上，对于所有x ∈ {1, 2, 3}，P(x) → Q(x)均为真。因此，∀x(P(x) → Q(x))的真值为真。

答案：真。