题目
某地区2014年至2020年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如表； 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：hat(b)=((sum_{i=1)^n(（{t_i-overline{t)}）（(y_i-overline{y)}）}})/((sum_{i=1)^n{{（{t_i-overline{t)}）}^2}}}，hat(a)=overline(y)-hat(b)overline(t)．
某地区2014年至2020年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如表；
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\hat{b}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{t_i-\overline{t}}）（{y_i-\overline{y}}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{（{t_i-\overline{t}}）}^2}}}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{t}$．
| 年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
| 年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\hat{b}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{t_i-\overline{t}}）（{y_i-\overline{y}}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{（{t_i-\overline{t}}）}^2}}}，\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{t}$．
题目解答
答案
解：（1）由表中数据知，$\overline{t}$=$\frac{1}{7}$×（1+2+3+4+5+6+7）=4，$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
$\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}$=1×2.9+2×3.3+3×3.6+4×4.4+5×4.8+6×5.2+7×5.9=134.4，
$\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}^{2}$=12+22+32+42+52+62+72=140，
∴$\hat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$=$\frac{134.4-7×4×4.3}{140-7×{4}^{2}}$=0.5，
$\hat{a}$=$\overline{y}-\hat{b}\overline{t}$=4.3-0.5×4=2.3，
故y关于t的线性回归方程为$\hat{y}$=0.5t+2.3．
（2）由（1）知，$\hat{b}$＞0，
∴2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5万元，
2022年对应的年份代号为9，当t=9时，$\hat{y}$=0.5×9+2.3=6.8，
故预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入为6.8万元．
$\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}$=1×2.9+2×3.3+3×3.6+4×4.4+5×4.8+6×5.2+7×5.9=134.4，
$\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}^{2}$=12+22+32+42+52+62+72=140，
∴$\hat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$=$\frac{134.4-7×4×4.3}{140-7×{4}^{2}}$=0.5，
$\hat{a}$=$\overline{y}-\hat{b}\overline{t}$=4.3-0.5×4=2.3，
故y关于t的线性回归方程为$\hat{y}$=0.5t+2.3．
（2）由（1）知，$\hat{b}$＞0，
∴2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5万元，
2022年对应的年份代号为9，当t=9时，$\hat{y}$=0.5×9+2.3=6.8，
故预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入为6.8万元．
解析
步骤 1：计算年份代号t和人均纯收入y的平均值
根据题目给出的数据，计算年份代号t和人均纯收入y的平均值$\overline{t}$和$\overline{y}$。
步骤 2：计算$\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}$和$\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}^{2}$
根据题目给出的数据，计算$\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}$和$\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}^{2}$。
步骤 3：计算回归方程的斜率$\hat{b}$和截距$\hat{a}$
根据最小二乘估计公式，计算回归方程的斜率$\hat{b}$和截距$\hat{a}$。
步骤 4：分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况
根据回归方程的斜率$\hat{b}$，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况。
步骤 5：预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入
根据回归方程，预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入。
根据题目给出的数据，计算年份代号t和人均纯收入y的平均值$\overline{t}$和$\overline{y}$。
步骤 2：计算$\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}$和$\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}^{2}$
根据题目给出的数据，计算$\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}$和$\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}^{2}$。
步骤 3：计算回归方程的斜率$\hat{b}$和截距$\hat{a}$
根据最小二乘估计公式，计算回归方程的斜率$\hat{b}$和截距$\hat{a}$。
步骤 4：分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况
根据回归方程的斜率$\hat{b}$，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况。
步骤 5：预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入
根据回归方程，预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入。