50 单选题 若随机变量 X sim N(mu, sigma^2)，且σ已知，从中随机抽取样本 x_(1), x_(2), ..., x_(n)，并经计算得到其均值为 overline(x)，这时由 overline(x) 估计μ的置信度为95%的置信区间时，置信区间的宽度（）。A. 是确定的B. 是随机的C. 是人为规定的D. 无法确定的

本题考查正态分布总体均值的置信区间以及置信区间宽度的性质。解题的关键关键在于明确在总体方差$\sigma^{2}$已知的情况下，正态分布总体均值$\mu$的置信区间的计算公式，然后分析置信区间宽度的影响因素。

步骤一：确定正态分布总体均值$\mu\mu$的置信区间公式

当随机变量$X \sim N(\mu, \sigma^{2})$，且$\sigma$已知时，从中随机抽取样本$x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$，样本均值为$\(\overline{x}$)，根据正态分布的性质，$\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$。
对于置信度为$1 - \alpha$（本题中$1 - \alpha = 0.95$，则$\alpha = 0.05$），$\mu$的置信区间为$(\left(\overline{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$，其中$z_{\frac{\alpha}{2}}$是标准正态分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点。

步骤二：计算置信区间的宽度

置信区间的宽度$L$等于置信区间上限减去下限，即：
$L=\left(\overline{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)-\left(\overline{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$
去括号可得：
$L=\overline{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}-\overline{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
合并同类项后得到
$L = 2z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

步骤三：分析置信区间宽度的性质

在本题中，$\alpha = 0.交换$已知，$z_{\frac{\alpha}{2}}$是一个确定的值（对于$\alpha = 0.05$，$z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.025}=1.96$），$\sigma$已知，样本容量$n$也是确定的。
所以$L = 2z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$是一个确定的值，即置信区间的宽度是确定的。