题目
设f(x)，g(x)在(-∞，+∞)上有定义，且x=x1是f(x)的唯一间断点，x=x2是g(x)的唯一间断点，则( )A. 当x1=x2时，f(x)+g(x)必有唯一的间断点x=x1B. 当x1≠x2时，f(x)+g(x)必有两个间断点x=x1与x=x2C. 当x1=x2时，f(x)g(x)必有唯一间断点x=x1D. 当x1≠x2时，f(x)g(x)必有两个间断点x=x1与x=x2
设f(x)，g(x)在(-∞，+∞)上有定义，且x=x1是f(x)的唯一间断点，x=x2是g(x)的唯一间断点，则( )
A. 当x1=x2时，f(x)+g(x)必有唯一的间断点x=x1
B. 当x1≠x2时，f(x)+g(x)必有两个间断点x=x1与x=x2
C. 当x1=x2时，f(x)g(x)必有唯一间断点x=x1
D. 当x1≠x2时，f(x)g(x)必有两个间断点x=x1与x=x2
A. 当x1=x2时，f(x)+g(x)必有唯一的间断点x=x1
B. 当x1≠x2时，f(x)+g(x)必有两个间断点x=x1与x=x2
C. 当x1=x2时，f(x)g(x)必有唯一间断点x=x1
D. 当x1≠x2时，f(x)g(x)必有两个间断点x=x1与x=x2
题目解答
答案
选项
令
选项A. C.
综上，正确选项为B.
故选：B.
解析
步骤 1：分析选项A
取f(x)={1, x>0−1, x⩽0，g(x)=−f(x)，则f(x)+g(x)=0，无间断点，故选项A错误。
步骤 2：分析选项B
令F(x)=f(x)+g(x)，假设F(x)在x=x1 处连续，由f(x)=F(x)−g(x)及已知条件g(x)仅在x=x2 处间断，其他处均连续，于是f(x)在x=x1 处连续，这与已知条件矛盾，故F(x)在x=x1 间断。同理推出F(x)在x=x2 处亦间断。因此，当x_1≠x_2时，f(x)+g(x)必有两个间断点x=x_1与x=x_2，故选项B正确。
步骤 3：分析选项C
取f(x)与g(x)同A，此时f(x)g(x)=−1无间断点，故选项C错误。
步骤 4：分析选项D
取f(x)={1, x>00, x⩽0，g(x)={0, x>−11, x⩽−1，则f(x)g(x)=0无间断点，故选项D错误。
取f(x)={1, x>0−1, x⩽0，g(x)=−f(x)，则f(x)+g(x)=0，无间断点，故选项A错误。
步骤 2：分析选项B
令F(x)=f(x)+g(x)，假设F(x)在x=x1 处连续，由f(x)=F(x)−g(x)及已知条件g(x)仅在x=x2 处间断，其他处均连续，于是f(x)在x=x1 处连续，这与已知条件矛盾，故F(x)在x=x1 间断。同理推出F(x)在x=x2 处亦间断。因此，当x_1≠x_2时，f(x)+g(x)必有两个间断点x=x_1与x=x_2，故选项B正确。
步骤 3：分析选项C
取f(x)与g(x)同A，此时f(x)g(x)=−1无间断点，故选项C错误。
步骤 4：分析选项D
取f(x)={1, x>00, x⩽0，g(x)={0, x>−11, x⩽−1，则f(x)g(x)=0无间断点，故选项D错误。