题目

设总体X~N(mu,sigma^2)，其中sigma^2未知，X_1,X_2,...,X_n是来自总体X的样本，则mu的置信水平为1-alpha的置信区间是（）A. (bar(X)-z_({alpha/2}(S)/(sqrt(n)),bar(X)+z_({alpha/2}(S)/(sqrt(n)))B. (bar(X)-t_({alpha/2(n-1)}(S)/(sqrt(n)),bar(X)+t_({alpha/2(n-1)}(S)/(sqrt(n)))C. (bar(X)-z_({alpha/2}(sigma)/(sqrt(n)),bar(X)+z_({alpha/2}(sigma)/(sqrt(n)))D. (bar(X)-t_({alpha/2(n)}(S)/(sqrt(n)),bar(X)+t_({alpha/2(n)}(S)/(sqrt(n)))

设总体X~N($\mu,\sigma^2$)，其中$\sigma^2$未知，$X_1,X_2,...,X_n$是来自总体X的样本，则$\mu$的置信水平为$1-\alpha$的置信区间是（） A. ($\bar{X}-z_{\{\alpha/2\}}\frac{S}{\sqrt{n}}$,$\bar{X}+z_{\{\alpha/2\}}\frac{S}{\sqrt{n}}$) B. ($\bar{X}-t_{\{\alpha/2\}(n-1)}\frac{S}{\sqrt{n}}$,$\bar{X}+t_{\{\alpha/2\}(n-1)}\frac{S}{\sqrt{n}}$) C. ($\bar{X}-z_{\{\alpha/2\}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$,$\bar{X}+z_{\{\alpha/2\}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$) D. ($\bar{X}-t_{\{\alpha/2\}(n)}\frac{S}{\sqrt{n}}$,$\bar{X}+t_{\{\alpha/2\}(n)}\frac{S}{\sqrt{n}}$)

题目解答

答案

我们来逐步分析这道题。

题目回顾：

设总体 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，其中 方差 $ \sigma^2 $ 未知，
$ X_1, X_2, \ldots, X_n $ 是来自该总体的样本。
要求：构造总体均值 $ \mu $ 的置信水平为 $ 1 - \alpha $ 的置信区间。
从四个选项中选出正确的一个。

第一步：明确已知条件

  • 总体服从正态分布：$ X \sim N(\mu, \sigma^2) $
  • 总体方差 $ \sigma^2 $ 未知
  • 样本为简单随机样本：$ X_1, \ldots, X_n $
  • 要估计的是总体均值 $ \mu $
  • 置信水平为 $ 1 - \alpha $

第二步：选择合适的统计量

在正态总体下，对均值 $ \mu $ 做区间估计时，是否已知总体方差决定了使用哪种分布。

情况一：总体方差 $ \sigma^2 $ 已知

→ 使用 标准正态分布（Z 分布）
统计量为：
$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$

情况二：总体方差 $ \sigma^2 $ 未知（本题属于此情况）

→ 用样本标准差 $ S $ 代替 $ \sigma $
此时统计量为：
$T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$
服从自由度为 $ n-1 $ 的 t 分布

第三步：构造置信区间

我们使用 t 分布来构造置信区间。

由：
$T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$

则有：
$P\left( -t_{\alpha/2}(n-1) \leq \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \leq t_{\alpha/2}(n-1) \right) = 1 - \alpha$

两边同时乘以 $ S / \sqrt{n} $，再移项，得到：
$P\left( \bar{X} - t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X} + t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \right) = 1 - \alpha$

所以，置信区间为：
$\left( \bar{X} - t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}},\ \bar{X} + t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \right)$

第四步：对比选项

我们来看四个选项：

A. $ \left( \bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}},\ \bar{X} + z_{\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}} \right) $
→ 使用的是标准正态分布的分位数 $ z_{\alpha/2} $，但方差未知时不应使用 z 统计量。
❌ 错误（适用于大样本或方差已知时的近似）

B. $ \left( \bar{X} - t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}},\ \bar{X} + t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}} \right) $
→ 完全匹配我们推导的结果。
✅ 正确！

C. $ \left( \bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) $
→ 使用了总体标准差 $ \sigma $，但题目中 $ \sigma^2 $ 未知，无法使用。
❌ 错误

D. $ \left( \bar{X} - t_{\alpha/2}(n) \frac{S}{\sqrt{n}},\ \bar{X} + t_{\alpha/2}(n) \frac{S}{\sqrt{n}} \right) $
→ 使用了 t 分布，但自由度是 $ n $，而不是 $ n-1 $。
❌ 错误（自由度应为 $ n-1 $）

最终答案：

$\boxed{B}$

✅ 答案：B

解析

本题考查正态总体均值的置信区间的的构造，解题思路如下：

  1. 明确已知条件：总体服从正态分布，总体方差 $\sigma^2$ 未知，要估计总体均值 $\mu$，置信水平为 $1 - \alpha$。
  2. 选择合适的统计量：由于总体方差 $\sigma^2$ 未知，我们使用样本标准差 $S$ 代替 $\sigma$，此时统计量服从自由度为 $n - 1$ 的 t 分布，即 $T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n - 1)$。3. 构造置信区间：根据 t 分布的性质，我们有 $ $P\left( -t{\alpha/2}(n - 1) \leq \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \leq t{\alpha/2}(n - 1) \right) = 1 - \alpha$。对不等式进行变形，，两边同时乘以 $S / \sqrt{n}$，再移项，得到 $P\left(\bar{X} - t{\alpha/2}(n - 1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X} + t{\alpha/2}(n - 1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \right) = 1 - \alpha$。所以，置信区间为 $\left( \bar{X} - t{\alpha/2}(n - 1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}},\ \bar{X} + t{\alpha/2}(n - 1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \right)$。
  3. 对比选项分析：
    • A选项：使用的是标准正态分布的分位数 $z_{\alpha/2}$，但方差未知时不应使用 z 统计量，所以 A 选项错误。
    • B选项：完全匹配我们推导的结果，所以 B 选项正确。
    • C选项：使用了总体标准差 $\sigma$，但题目中 $\sigma^2$ 未知，无法使用，所以 C 选项错误。
    • D选项：使用了 t 分布，但自由度是 $n$，而不是 $n - 1$，所以 D 选项错误。