题目

设 X_1, X_2, ..., X_6 为总体 N(0,1) 的样本，记 Y=(X_1+X_2+X_3)^2+(X_3+X_4+X_5)^2，当 C= ________ 时，CY sim chi^2(2)。

设 $X_1, X_2, \cdots, X_6$ 为总体 $N(0,1)$ 的样本，记 $Y=(X_1+X_2+X_3)^2+(X_3+X_4+X_5)^2$，当 $C=$ \_\_\_\_\_\_\_\_ 时，$CY \sim \chi^2(2)$。

题目解答

答案

设 $A = X_1 + X_2 + X_3$，$B = X_4 + X_5 + X_6$，则 $A$ 和 $B$ 独立且服从 $N(0,3)$。将 $A$ 和 $B$ 转化为标准正态变量：
$Z_1 = \frac{A}{\sqrt{3}} \sim N(0,1), \quad Z_2 = \frac{B}{\sqrt{3}} \sim N(0,1).$
于是，
$Y = A^2 + B^2 = 3(Z_1^2 + Z_2^2).$
由于 $Z_1^2 + Z_2^2 \sim \chi^2(2)$，要使 $CY \sim \chi^2(2)$，需 $C \cdot 3 = 1$，解得 $C = \frac{1}{3}$。

答案： $\boxed{\frac{1}{3}}$