15.设有100道单选题，每道题有4个备选答案，其中只有一个答案是正确的，规定做对一道题得1分，做错一道题得0分，假设由机器人来做答，每道题都从4个备选答案中随机选取，试用中心极限定理估算机器人的得分能超过30分的概率？（已知Φ(1.16)=0.877）

设随机变量 $X_i$ 表示第 $i$ 题的得分，其中 $X_i = 1$ 表示答对，$X_i = 0$ 表示答错。每题答对概率为 $p = \frac{1}{4}$，总分 $X = \sum_{i=1}^{100} X_i$ 服从二项分布 $B(100, \frac{1}{4})$。 期望和方差分别为： \[ E(X) = np = 25, \quad D(X) = np(1-p) = 18.75 \] 由中心极限定理，$X$ 近似服从正态分布 $N(25, 18.75)$。 标准化得： \[ Z = \frac{X - 25}{\sqrt{18.75}}, \quad P(X > 30) = P\left(Z > \frac{30 - 25}{\sqrt{18.75}}\right) \approx P(Z > 1.155) \] 已知 $\Phi(1.16) = 0.877$，故： \[ P(Z > 1.155) \approx 1 - \Phi(1.16) = 1 - 0.877 = 0.123 \] **答案：** $\boxed{0.123}$