题目
用高斯消元法解下列线性方程组：}2x_(1)-x_(2)+3x_(3)=3,3x_(1)+x_(2)-5x_(3)=0,4x_(1)-x_(2)+x_(3)=3,x_(1)+3x_(2)-13x_(3)=-6;
用高斯消元法解下列线性方程组：
$\begin{cases}2x_{1}-x_{2}+3x_{3}=3,\\3x_{1}+x_{2}-5x_{3}=0,\\4x_{1}-x_{2}+x_{3}=3,\\x_{1}+3x_{2}-13x_{3}=-6;\end{cases}$
题目解答
答案
交换第1、4行，消去第2、3、4行首元：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -13 & -6 \\
0 & -8 & 34 & 18 \\
0 & -13 & 53 & 27 \\
0 & -7 & 29 & 15
\end{pmatrix}
\]
消去第3、4行第2列，化简得：
\[
\boxed{
\begin{cases}
x_1 = 1, \\
x_2 = 2, \\
x_3 = 1.
\end{cases}
}
\]
解析
步骤 1：构造增广矩阵
构造增广矩阵，将线性方程组表示为矩阵形式，以便进行高斯消元法。
\[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & -5 & 0 \\ 4 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & -13 & -6 \end{pmatrix} \]
步骤 2：交换第1、4行
为了方便消元，交换第1、4行，使首元为1。
\[ \begin{pmatrix} 1 & 3 & -13 & -6 \\ 3 & 1 & -5 & 0 \\ 4 & -1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 3 \end{pmatrix} \]
步骤 3：消去第2、3、4行首元
利用第1行消去第2、3、4行首元，使第2、3、4行首元为0。
\[ \begin{pmatrix} 1 & 3 & -13 & -6 \\ 0 & -8 & 34 & 18 \\ 0 & -13 & 53 & 27 \\ 0 & -7 & 29 & 15 \end{pmatrix} \]
步骤 4：消去第3、4行第2列
利用第2行消去第3、4行第2列，使第3、4行第2列元素为0。
\[ \begin{pmatrix} 1 & 3 & -13 & -6 \\ 0 & -8 & 34 & 18 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \end{pmatrix} \]
步骤 5：化简
化简得到最终的解。
\[ \begin{cases} x_1 = 1, \\ x_2 = 2, \\ x_3 = 1. \end{cases} \]
构造增广矩阵，将线性方程组表示为矩阵形式，以便进行高斯消元法。
\[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & -5 & 0 \\ 4 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & -13 & -6 \end{pmatrix} \]
步骤 2：交换第1、4行
为了方便消元，交换第1、4行，使首元为1。
\[ \begin{pmatrix} 1 & 3 & -13 & -6 \\ 3 & 1 & -5 & 0 \\ 4 & -1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 3 \end{pmatrix} \]
步骤 3：消去第2、3、4行首元
利用第1行消去第2、3、4行首元，使第2、3、4行首元为0。
\[ \begin{pmatrix} 1 & 3 & -13 & -6 \\ 0 & -8 & 34 & 18 \\ 0 & -13 & 53 & 27 \\ 0 & -7 & 29 & 15 \end{pmatrix} \]
步骤 4：消去第3、4行第2列
利用第2行消去第3、4行第2列，使第3、4行第2列元素为0。
\[ \begin{pmatrix} 1 & 3 & -13 & -6 \\ 0 & -8 & 34 & 18 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \end{pmatrix} \]
步骤 5：化简
化简得到最终的解。
\[ \begin{cases} x_1 = 1, \\ x_2 = 2, \\ x_3 = 1. \end{cases} \]