题目
3.设总体X的概率分布密度为f( x_(i) ,theta)=}(1)/(theta)e^-(x)/(theta),x>0,0,其他，其中theta>0未知，X_(1),X_(2),...,X_(n)为其样本.试证hat(theta)=ntimes minX_{1),X_(2),...,X_(n)}为theta的无偏估计.
3.设总体X的概率分布密度为
$f( x_{i} ,\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},x>0,\\0,其他，\end{cases}$
其中$\theta>0$未知，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为其样本.试证$\hat{\theta}=n\times min\left\{X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\right\}$为$\theta$的无偏估计.
题目解答
答案
设 $Y = \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$，则 $Y$ 的分布函数为：
$$
F_Y(y) = 1 - [1 - F(y)]^n = 1 - e^{-\frac{ny}{\theta}}, \quad y > 0.
$$
求导得概率密度函数：
$$
f_Y(y) = \frac{n}{\theta} e^{-\frac{ny}{\theta}}, \quad y > 0.
$$
计算期望：
$$
\mathbb{E}[Y] = \int_0^{+\infty} y \cdot \frac{n}{\theta} e^{-\frac{ny}{\theta}} \, dy = \frac{\theta}{n} \int_0^{+\infty} u e^{-u} \, du = \frac{\theta}{n}.
$$
因此，$\mathbb{E}[\hat{\theta}] = \mathbb{E}[nY] = n \cdot \frac{\theta}{n} = \theta$，即 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计。
**答案：** $\boxed{\hat{\theta} = n \times \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\} \text{ 是 } \theta \text{ 的无偏估计。}}$
解析
步骤 1：定义 $Y = \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$
设 $Y = \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$，其中 $X_i$ 是独立同分布的随机变量，且每个 $X_i$ 都服从参数为 $\theta$ 的指数分布。我们需要找到 $Y$ 的分布函数和概率密度函数。
步骤 2：计算 $Y$ 的分布函数
$Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 可以通过 $X_i$ 的分布函数 $F(x)$ 来计算。由于 $Y$ 是 $X_i$ 中的最小值，$F_Y(y)$ 表示所有 $X_i$ 都大于 $y$ 的概率的补集。因此，$F_Y(y) = 1 - [1 - F(y)]^n$，其中 $F(y)$ 是 $X_i$ 的分布函数。对于指数分布，$F(y) = 1 - e^{-\frac{y}{\theta}}$，所以 $F_Y(y) = 1 - e^{-\frac{ny}{\theta}}$，$y > 0$。
步骤 3：计算 $Y$ 的概率密度函数
$Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$ 是 $F_Y(y)$ 的导数。因此，$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{n}{\theta} e^{-\frac{ny}{\theta}}$，$y > 0$。
步骤 4：计算 $Y$ 的期望
$Y$ 的期望 $\mathbb{E}[Y]$ 可以通过积分 $y$ 乘以 $f_Y(y)$ 来计算。因此，$\mathbb{E}[Y] = \int_0^{+\infty} y \cdot \frac{n}{\theta} e^{-\frac{ny}{\theta}} \, dy$。通过变量替换 $u = \frac{ny}{\theta}$，可以得到 $\mathbb{E}[Y] = \frac{\theta}{n} \int_0^{+\infty} u e^{-u} \, du = \frac{\theta}{n}$。
步骤 5：证明 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计
由于 $\mathbb{E}[Y] = \frac{\theta}{n}$，所以 $\mathbb{E}[nY] = n \cdot \frac{\theta}{n} = \theta$。因此，$\hat{\theta} = n \times \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$ 是 $\theta$ 的无偏估计。
设 $Y = \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$，其中 $X_i$ 是独立同分布的随机变量，且每个 $X_i$ 都服从参数为 $\theta$ 的指数分布。我们需要找到 $Y$ 的分布函数和概率密度函数。
步骤 2：计算 $Y$ 的分布函数
$Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 可以通过 $X_i$ 的分布函数 $F(x)$ 来计算。由于 $Y$ 是 $X_i$ 中的最小值，$F_Y(y)$ 表示所有 $X_i$ 都大于 $y$ 的概率的补集。因此，$F_Y(y) = 1 - [1 - F(y)]^n$，其中 $F(y)$ 是 $X_i$ 的分布函数。对于指数分布，$F(y) = 1 - e^{-\frac{y}{\theta}}$，所以 $F_Y(y) = 1 - e^{-\frac{ny}{\theta}}$，$y > 0$。
步骤 3：计算 $Y$ 的概率密度函数
$Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$ 是 $F_Y(y)$ 的导数。因此，$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{n}{\theta} e^{-\frac{ny}{\theta}}$，$y > 0$。
步骤 4：计算 $Y$ 的期望
$Y$ 的期望 $\mathbb{E}[Y]$ 可以通过积分 $y$ 乘以 $f_Y(y)$ 来计算。因此，$\mathbb{E}[Y] = \int_0^{+\infty} y \cdot \frac{n}{\theta} e^{-\frac{ny}{\theta}} \, dy$。通过变量替换 $u = \frac{ny}{\theta}$，可以得到 $\mathbb{E}[Y] = \frac{\theta}{n} \int_0^{+\infty} u e^{-u} \, du = \frac{\theta}{n}$。
步骤 5：证明 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计
由于 $\mathbb{E}[Y] = \frac{\theta}{n}$，所以 $\mathbb{E}[nY] = n \cdot \frac{\theta}{n} = \theta$。因此，$\hat{\theta} = n \times \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$ 是 $\theta$ 的无偏估计。