题目

3、设连续型随机变量X的分布函数和密度函数分别为F(x)与f(x)，则下列选项中正确的是（） (A)F(x)≤P(X=x) (B)F(x)=f'(x) (C) int _(-infty )^+infty f(x)dx=1 (D)P(X=x)≠0

3、设连续型随机变量X的分布函数和密度函数分别为F(x)与f(x)，则下列选项中正确的是（） (A)F(x)≤P{X=x} (B)F(x)=f'(x) (C) \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1 (D)P{X=x}≠0

题目解答

答案

为了确定正确选项，让我们逐步分析每个选项。 (A) $ F(x) \leq P\{X = x\} $ 连续型随机变量在任何特定值 $ x $ 的概率 $ P\{X = x\} $ 为零。分布函数 $ F(x) $ 定义为 $ P\{X \leq x\} $，对于连续型随机变量，这是一个连续函数。由于 $ P\{X = x\} = 0 $，不可能有 $ F(x) \leq P\{X = x\} $。因此，这个选项是不正确的。 (B) $ F(x) = f'(x) $ 分布函数 $ F(x) $ 是密度函数 $ f(x) $ 的积分，而不是导数。具体来说，$ F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt $。密度函数 $ f(x) $ 是分布函数 $ F(x) $ 的导数，即 $ f(x) = F'(x) $。因此，这个选项是不正确的。 (C) $ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1 $ 密度函数 $ f(x) $ 的积分从 $-\infty$ 到 $+\infty$ 必须等于1。这是密度函数的基本性质，表示总概率为1。因此，这个选项是正确的。 (D) $ P\{X = x\} \neq 0 $ 对于连续型随机变量，任何特定值 $ x $ 的概率 $ P\{X = x\} $ 为零。因此，这个选项是不正确的。 根据分析，正确选项是 $\boxed{C}$。

解析

本题主要考查连续型随机变量的分布函数和密度函数的基本性质。解题思路是根据连续型随机变量的相关定义和性质，对每个选项逐一进行分析判断。

  • 选项A：
    • 对于连续型随机变量，其在任何特定值$x$的概率$P\{X = x\} = 0$。
    • 分布函数$F(x)$的定义为$F(x)=P\{X\leq x\}$，它是一个连续函数，且$0\leq F(x)\leq1$。
    • 由于$P\{X = x\} = 0$，所以不可能有$F(x) \leq P\{X = x\}$，该选项错误。
  • 选项B：
    • 根据分布函数和密度函数的关系，分布函数$F(x)$是密度函数$f(x)$的积分，即$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt$。
    • 而密度函数$f(x)$是分布函数$F(x)$的导数，即$f(x) = F'(x)$，并非$F(x) = f'(x)$，该选项错误。
  • 选项C：
    • 密度函数$f(x)$的一个基本性质是其在整个实数轴上的积分值为$1$，即$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$，这表示总概率为$1$，该选项正确。
  • 选项D：
    • 由连续型随机变量的性质可知，任何特定值$x$的概率$P\{X = x\} = 0$，并非$P\{X = x\} \neq 0$，该选项错误。