题目

30.填空题在二元回归模型Y_(t) = b_(0) + b_(1) X_(1t) + b_(2) X_(2t) + varepsilon_(t)中存在完全共线性，则 r_(X_{1)X_(2)} =____。

30.填空题 在二元回归模型$Y_{t} = b_{0} + b_{1} X_{1t} + b_{2} X_{2t} + \varepsilon_{t}$中存在完全共线性，则 $r_{X_{1}X_{2}}$ =____。

题目解答

答案

问题解析

在二元回归模型 $Y_{t} = b_{0} + b_{1} X_{1t} + b_{2} X_{2t} + \varepsilon_{t}$ 中，如果存在完全共线性，意味着自变量 $X_{1t}$ 和 $X_{2t}$ 之间存在线性关系。具体来说，完全共线性表示 $X_{1t}$ 和 $X_{2t}$ 之间的相关系数 $r_{X_{1}X_{2}}$ 达到最大值。

相关系数的定义

相关系数 $r_{X_{1}X_{2}}$ 是衡量两个变量之间线性关系强度的统计量，其取值范围为 $[-1, 1]$：

  • $r_{X_{1}X_{2}} = 1$ 表示 $X_{1t}$ 和 $X_{2t}$ 之间存在完全正相关。
  • $r_{X_{1}X_{2}} = -1$ 表示 $X_{1t}$ 和 $X_{2t}$ 之间存在完全负相关。
  • $r_{X_{1}X_{2}} = 0$ 表示 $X_{1t}$ 和 $X_{2t}$ 之间不存在线性关系。

完全共线性的定义

完全共线性意味着 $X_{1t}$ 和 $X_{2t}$ 之间存在精确的线性关系，即：
$X_{1t} = c_1 + c_2 X_{2t}$
其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是常数。这种情况下， $X_{1t}$ 和 $X_{2t}$ 之间的相关系数 $r_{X_{1}X_{2}}$ 必然为 1 或 -1。

答案

在二元回归模型 $Y_{t} = b_{0} + b_{1} X_{1t} + b_{2} X_{2t} + \varepsilon_{t}$ 中存在完全共线性，则 $r_{X_{1}X_{2}}$ = $\pm 1$。

因此，填空题的答案是：
$\boxed{\pm 1}$

解析

本题考查二元回归模型中完全共线性与自变量相关系数的关系。解题思路是先明确完全共线性的定义，再结合相关系数的性质来确定自变量之间的相关系数。

  1. 明确完全共线性的定义：
    在二元回归模型$Y_{t} = b_{0} + b_{1} X_{1t} + b_{2} X_{2t} + \varepsilon_{t}$中，若存在完全共线性，意味着自变量$X_{1t}$和$X_{2t}$之间存在精确的线性关系，即$X_{1t} = c_1 + c_2 X_{2t}$，其中$c_1$和$c_2$是常数。
  2. 回顾相关系数的性质：
    相关系数$r_{X_{1}X_{2}}$是衡量两个变量之间线性关系强度的统计量，其取值范围为$[-1, 1]$。当$r_{X_{1}X_{2}} = 1$时，表示$X_{1t}$和$X_{2t}$之间存在完全正相关；当$r_{X_{1}X_{2}} = -1$时，表示$X_{1t}$和$X_{2t}$之间存在完全负相关；当$r_{X_{1}X_{2}} = 0$时，表示$X_{1t}$和$X_{2t}$之间不存在线性关系。
  3. 确定$r_{X_{1}X_{2}}$的值：
    由于完全共线性意味着$X_{1t}$和$X_{2t}$之间存在精确的线性关系，所以它们之间的相关系数$r_{X_{1}X_{2}}$必然为$1$或$-1$，即$r_{X_{1}X_{2}}=\pm 1$。