题目

设_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)是来自总体_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)的样本，若_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)，则（）A._(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)B._(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)C._(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)D._(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)

设 $X_1,X_2,\dots,X_n$ 是来自总体 $X\sim N(0,1)$ 的样本，若 $\frac{a(X_1-2X_2)^2}{X_3^2+X_4^2}\sim F(b,c)$ ，则（）

A. $a=\frac{\sqrt{5}}{5},b=1,c=2$

B. $a=\frac{1}{5},b=1,c=2$

C. $a=\frac{1}{5},b=2,c=2$

D. $a=\frac{2}{5},b=1,c=2$

题目解答

答案

来自总体的样本 $X_1,X_2,\dots,X_n$ 相互独立且都服从总体X的分布，则 $X_i\sim N(0,1),i=1,\cdots,n$ ，则 $E\left(X_1-2X_2\right)=E\left(X_1\right)-2E\left(X_2\right)$ $=0-2\times0=0$ ， $D\left(X_1-2X_2\right)=D\left(X_1\right)+4D\left(X_2\right)$ $=1+4\times1=5$ ，则 $X_1-2X_2\sim N\left(0,5\right),\frac{X_1-2X_2}{\sqrt{5}}\sim N\left(0,1\right)$ ，则 $\left(\frac{X_1-2X_2}{\sqrt{5}}\right)^2\simχ^2\left(1\right)$ ，则 $X_i^2\simχ^2\left(1\right),X_3^2+X_4^2\simχ^2\left(2\right)$ ，则 $\frac{\frac{\left(\frac{X_1-2X_2}{\sqrt{5}}\right)^2}{1}}{\frac{X_3^2+X_4^2}{2}}\sim F\left(1,2\right),\frac{\frac{1}{5}\left(X_1-2X_2\right)^2}{X_3^2+X_4^2}\sim F\left(1,2\right)$ ，则 $a=\frac{1}{5},b=1,c=2$ ，因此选择C。