题目
13.15 波长 lambda =600mm 的单色光垂直入射到一光栅上,测得第二级主极大的衍射角为-|||-30°,且第三级是缺级。-|||-(1)光栅常数 (a+b) 等于多少?-|||-(2)透光缝可能的最小宽度a等于多少?-|||-(3)在选定了上述 (a+b) 和a之后,求在屏幕上可能呈现的全部主极大的级次。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定光栅方程
光栅方程为 $d\sin\theta = k\lambda$，其中 $d$ 是光栅常数，$\theta$ 是衍射角，$k$ 是主极大级次，$\lambda$ 是入射光的波长。
步骤 2：计算光栅常数 (a+b)
根据题目条件，第二级主极大的衍射角为 30°，代入光栅方程得 $(a+b)\sin(30°) = 2\lambda$，解得 $(a+b) = \frac{2\lambda}{\sin(30°)} = \frac{2 \times 600 \times 10^{-9}}{0.5} = 2.4 \times 10^{-6}m$。
步骤 3：确定透光缝可能的最小宽度a
由于第三级是缺级，说明 $3\lambda$ 是光栅常数的整数倍，即 $3\lambda = m(a+b)$，其中 $m$ 是整数。由于 $(a+b) = 2.4 \times 10^{-6}m$，代入得 $3 \times 600 \times 10^{-9} = m \times 2.4 \times 10^{-6}$，解得 $m = 0.75$，说明 $a$ 必须是 $(a+b)$ 的整数倍，即 $a = \frac{2}{3}(a+b) = 0.8 \times 10^{-6}m$。
步骤 4：确定屏幕上可能呈现的全部主极大的级次
由于 $(a+b) = 2.4 \times 10^{-6}m$，$a = 0.8 \times 10^{-6}m$，代入光栅方程得 $2.4 \times 10^{-6}\sin\theta = k \times 600 \times 10^{-9}$，解得 $\sin\theta = \frac{k \times 600 \times 10^{-9}}{2.4 \times 10^{-6}} = \frac{k}{4}$。由于 $\sin\theta$ 的取值范围为 $[-1,1]$，所以 $k$ 的取值范围为 $[-4,4]$。但由于第三级是缺级，所以 $k$ 不能取 $\pm 3$，因此 $k$ 的取值为 $0, \pm 1, \pm 2$，共5个主极大。
光栅方程为 $d\sin\theta = k\lambda$，其中 $d$ 是光栅常数，$\theta$ 是衍射角，$k$ 是主极大级次，$\lambda$ 是入射光的波长。
步骤 2：计算光栅常数 (a+b)
根据题目条件，第二级主极大的衍射角为 30°，代入光栅方程得 $(a+b)\sin(30°) = 2\lambda$，解得 $(a+b) = \frac{2\lambda}{\sin(30°)} = \frac{2 \times 600 \times 10^{-9}}{0.5} = 2.4 \times 10^{-6}m$。
步骤 3：确定透光缝可能的最小宽度a
由于第三级是缺级，说明 $3\lambda$ 是光栅常数的整数倍，即 $3\lambda = m(a+b)$，其中 $m$ 是整数。由于 $(a+b) = 2.4 \times 10^{-6}m$，代入得 $3 \times 600 \times 10^{-9} = m \times 2.4 \times 10^{-6}$，解得 $m = 0.75$，说明 $a$ 必须是 $(a+b)$ 的整数倍，即 $a = \frac{2}{3}(a+b) = 0.8 \times 10^{-6}m$。
步骤 4：确定屏幕上可能呈现的全部主极大的级次
由于 $(a+b) = 2.4 \times 10^{-6}m$，$a = 0.8 \times 10^{-6}m$，代入光栅方程得 $2.4 \times 10^{-6}\sin\theta = k \times 600 \times 10^{-9}$，解得 $\sin\theta = \frac{k \times 600 \times 10^{-9}}{2.4 \times 10^{-6}} = \frac{k}{4}$。由于 $\sin\theta$ 的取值范围为 $[-1,1]$，所以 $k$ 的取值范围为 $[-4,4]$。但由于第三级是缺级，所以 $k$ 不能取 $\pm 3$，因此 $k$ 的取值为 $0, \pm 1, \pm 2$，共5个主极大。