题目
1.计算题已知总体Xsim N(mu,sigma^2)，容量为9的样本来自总体X且样本均值overline(x)=3，样本标准差S=5，计算总体均值μ的99%置信区间。(结果保留小数点后两位)
1.计算题
已知总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，容量为9的样本来自总体X且样本均值$\overline{x}=3$，样本标准差S=5，
计算总体均值μ的99%置信区间。(结果保留小数点后两位)
题目解答
答案
为了计算总体均值 $\mu$ 的 99% 置信区间，我们使用 t 分布，因为总体方差 $\sigma^2$ 未知。置信区间的公式为：
\[
\overline{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}
\]
其中：
- $\overline{x}$ 是样本均值，
- $t_{\alpha/2, n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的上 $\alpha/2$ 分位数，
- $S$ 是样本标准差，
- $n$ 是样本容量。
已知：
- $\overline{x} = 3$，
- $S = 5$，
- $n = 9$，
- 置信水平为 99%，所以 $\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$，$\alpha/2 = 0.005$。
自由度 $n-1 = 8$。我们需要找到 $t_{0.005, 8}$。从 t 分布表中，我们发现 $t_{0.005, 8} = 3.355$。
现在，我们可以将这些值代入置信区间公式：
\[
3 \pm 3.355 \cdot \frac{5}{\sqrt{9}}
\]
首先，计算标准误：
\[
\frac{5}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3} \approx 1.667
\]
然后，计算 margin of error:
\[
3.355 \cdot 1.667 \approx 5.593
\]
最后，计算置信区间：
\[
3 \pm 5.593
\]
这给我们两个值：
\[
3 - 5.593 \approx -2.593
\]
\[
3 + 5.593 \approx 8.593
\]
将结果保留到小数点后两位，总体均值 $\mu$ 的 99% 置信区间为：
\[
\boxed{(-2.60, 8.60)}
\]
解析
步骤 1：确定置信区间的公式
由于总体方差未知，我们使用 t 分布来计算总体均值 $\mu$ 的置信区间。置信区间的公式为： \[ \overline{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \] 其中： - $\overline{x}$ 是样本均值， - $t_{\alpha/2, n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的上 $\alpha/2$ 分位数， - $S$ 是样本标准差， - $n$ 是样本容量。
步骤 2：确定已知值
已知： - $\overline{x} = 3$， - $S = 5$， - $n = 9$， - 置信水平为 99%，所以 $\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$，$\alpha/2 = 0.005$。 自由度 $n-1 = 8$。
步骤 3：查找 t 分布表
从 t 分布表中，我们找到 $t_{0.005, 8} = 3.355$。
步骤 4：计算标准误
计算标准误： \[ \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3} \approx 1.667 \]
步骤 5：计算 margin of error
计算 margin of error: \[ t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} = 3.355 \cdot 1.667 \approx 5.593 \]
步骤 6：计算置信区间
计算置信区间： \[ \overline{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} = 3 \pm 5.593 \] 这给我们两个值： \[ 3 - 5.593 \approx -2.593 \] \[ 3 + 5.593 \approx 8.593 \]
步骤 7：保留小数点后两位
将结果保留到小数点后两位，总体均值 $\mu$ 的 99% 置信区间为： \[ (-2.60, 8.60) \]
由于总体方差未知，我们使用 t 分布来计算总体均值 $\mu$ 的置信区间。置信区间的公式为： \[ \overline{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \] 其中： - $\overline{x}$ 是样本均值， - $t_{\alpha/2, n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的上 $\alpha/2$ 分位数， - $S$ 是样本标准差， - $n$ 是样本容量。
步骤 2：确定已知值
已知： - $\overline{x} = 3$， - $S = 5$， - $n = 9$， - 置信水平为 99%，所以 $\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$，$\alpha/2 = 0.005$。 自由度 $n-1 = 8$。
步骤 3：查找 t 分布表
从 t 分布表中，我们找到 $t_{0.005, 8} = 3.355$。
步骤 4：计算标准误
计算标准误： \[ \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3} \approx 1.667 \]
步骤 5：计算 margin of error
计算 margin of error: \[ t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} = 3.355 \cdot 1.667 \approx 5.593 \]
步骤 6：计算置信区间
计算置信区间： \[ \overline{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} = 3 \pm 5.593 \] 这给我们两个值： \[ 3 - 5.593 \approx -2.593 \] \[ 3 + 5.593 \approx 8.593 \]
步骤 7：保留小数点后两位
将结果保留到小数点后两位，总体均值 $\mu$ 的 99% 置信区间为： \[ (-2.60, 8.60) \]