568 设X_(1),X_(2),...,X_(n)为来自正态总体N(mu,sigma^2)的简单随机样本，则数学期望E(sum_{i=1)^nX_(i))[sum_(j=1)^n(nX_(j)-sum_(k=1)^nX_(k))^2]}等于A. n^3(n-1)mucdotsigma^2.B. n(n-1)mucdotsigma^2.C. n^2(n-1)mucdotsigma^2.D. n^3(n-1)mucdotsigma.

考查要点：本题主要考查正态总体样本的线性组合的期望计算，涉及协方差、矩的性质以及代数展开技巧。

解题核心思路：

1. 识别关键统计量：将样本和$S = \sum X_i$视为整体，利用其正态分布性质。
2. 展开平方项：将$\sum (nX_j - S)^2$展开为$n^2 \sum X_j^2 - nS^2$，简化原式。
3. 分项计算期望：将原式拆分为$E\{S \sum X_j^2\}$和$E\{S^3\}$，分别利用独立性和正态分布的矩公式计算。

破题关键点：

• 正态变量的矩性质：三阶矩公式$E[X^3] = \mu^3 + 3\mu\sigma^2$。
• 协方差性质：独立变量的乘积期望可分解为各自期望的乘积。

设$S = \sum_{i=1}^n X_i$，则$S \sim N(n\mu, n\sigma^2)$。原式可化简为：
$E\left\{ S \left[ \sum_{j=1}^n (nX_j - S)^2 \right] \right\}$

步骤1：展开平方项
展开$\sum_{j=1}^n (nX_j - S)^2$：
$\begin{aligned}\sum_{j=1}^n (nX_j - S)^2 &= \sum_{j=1}^n \left( n^2X_j^2 - 2nX_jS + S^2 \right) \\&= n^2 \sum_{j=1}^n X_j^2 - 2nS \sum_{j=1}^n X_j + nS^2 \\&= n^2 \sum_{j=1}^n X_j^2 - nS^2 \quad (\because \sum X_j = S)\end{aligned}$

步骤2：代入原式并分项
原式变为：
$E\left\{ S \left[ n^2 \sum X_j^2 - nS^2 \right] \right\} = n^2 E\left\{ S \sum X_j^2 \right\} - n E\left\{ S^3 \right\}$

步骤3：计算$E\{ S \sum X_j^2 \}$
利用独立性分解：
$\begin{aligned}E\left\{ S \sum X_j^2 \right\} &= E\left\{ \sum X_i \sum X_j^2 \right\} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n E\{ X_i X_j^2 \} \\&= \sum_{i=1}^n E\{ X_i^3 \} + \sum_{i \neq j} E\{ X_i X_j^2 \} \\&= n(\mu^3 + 3\mu\sigma^2) + n(n-1)\mu(\mu^2 + \sigma^2) \\&= n^2\mu^3 + n(n+2)\mu\sigma^2\end{aligned}$

步骤4：计算$E\{ S^3 \}$
利用正态变量的三阶矩公式：
$E\{ S^3 \} = (n\mu)^3 + 3(n\mu)(n\sigma^2) = n^3\mu^3 + 3n^2\mu\sigma^2$

步骤5：代入化简
将结果代入原式：
$\begin{aligned}n^2 E\{ S \sum X_j^2 \} - n E\{ S^3 \} &= n^2 \left( n^2\mu^3 + n(n+2)\mu\sigma^2 \right) - n \left( n^3\mu^3 + 3n^2\mu\sigma^2 \right) \\&= n^4\mu^3 + n^3(n+2)\mu\sigma^2 - n^4\mu^3 - 3n^3\mu\sigma^2 \\&= n^3(n-1)\mu\sigma^2\end{aligned}$