题目
38.设总体Xsim N(0,1)，X_(1),X_(2),dots,X_(n)为样本，则统计量sum_(i=1)^nX_(i)^2的抽样分布为____.
38.设总体$X\sim N(0,1)$，$X_{1},X_{2},\dots,X_{n}$为样本，则统计量$\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}$的抽样分布为____.
题目解答
答案
设总体 $X \sim N(0,1)$，样本 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 来自该总体。
1. 每个 $X_i \sim N(0,1)$，则 $X_i^2 \sim \chi^2(1)$（标准正态变量平方服从自由度为1的卡方分布）。
2. 由于 $X_1^2, X_2^2, \dots, X_n^2$ 独立，
\[
\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n)
\]
（n个独立 $\chi^2(1)$ 变量之和服从自由度为n的卡方分布）。
答案：$\boxed{\chi^2(n)}$
解析
步骤 1：确定单个样本变量的分布
每个 $X_i$ 都是来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的样本，因此每个 $X_i$ 都服从标准正态分布 $N(0,1)$。
步骤 2：确定单个样本变量平方的分布
由于 $X_i \sim N(0,1)$，则 $X_i^2$ 服从自由度为1的卡方分布，即 $X_i^2 \sim \chi^2(1)$。
步骤 3：确定样本变量平方和的分布
由于 $X_1^2, X_2^2, \dots, X_n^2$ 是独立的，且每个 $X_i^2$ 都服从 $\chi^2(1)$ 分布，因此它们的和 $\sum_{i=1}^{n} X_i^2$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布，即 $\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n)$。
每个 $X_i$ 都是来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的样本，因此每个 $X_i$ 都服从标准正态分布 $N(0,1)$。
步骤 2：确定单个样本变量平方的分布
由于 $X_i \sim N(0,1)$，则 $X_i^2$ 服从自由度为1的卡方分布，即 $X_i^2 \sim \chi^2(1)$。
步骤 3：确定样本变量平方和的分布
由于 $X_1^2, X_2^2, \dots, X_n^2$ 是独立的，且每个 $X_i^2$ 都服从 $\chi^2(1)$ 分布，因此它们的和 $\sum_{i=1}^{n} X_i^2$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布，即 $\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n)$。