计算下列极限：(1) lim_(x to 2) (x^2 + 5)/(x - 3);(2) lim_(x to sqrt(3)) (x^2 - 3)/(x^2 + 1);(3) lim_(x to 1) (x^2 - 2x + 1)/(x^2 - 1);(4) lim_(x to 0) (4x^3 - 2x^2 + x)/(3x^2 + 2x);(5) lim_(h to 0) ((x + h)^2 - x^2)/(h);(6) lim_(x to infty) (2 - (1)/(x) + (1)/(x^2));(7) lim_(x to -1) (x^2 - 1)/(2x^2 - x - 1);(8) lim_(x to infty) (x^2 + x)/(x^4 - 3x^2 + 1);(9) lim_(x to 4) (x^2 - 6x + 8)/(x^2 - 5x + 4);

我们来逐题计算这些极限。每题都会给出详细的解题过程和最终答案。

(1)

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 5}{x - 3}$

解题过程：
直接代入 $ x = 2 $：

$\frac{2^2 + 5}{2 - 3} = \frac{4 + 5}{-1} = \frac{9}{-1} = -9$

答案：
$\boxed{-9}$

(2)

$\lim_{x \to \sqrt{3}} \frac{x^2 - 3}{x^2 + 1}$

解题过程：
直接代入 $ x = \sqrt{3} $：

$\frac{(\sqrt{3})^2 - 3}{(\sqrt{3})^2 + 1} = \frac{3 - 3}{3 + 1} = \frac{0}{4} = 0$

答案：
$\boxed{0}$

(3)

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}$

解题过程：
先因式分解分子和分母：

• 分子：$ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 $
• 分母：$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $

所以原式变为：

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x + 1}$

再代入 $ x = 1 $：

$\frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$

答案：
$\boxed{0}$

(4)

$\lim_{x \to 0} \frac{4x^3 - 2x^2 + x}{3x^2 + 2x}$

解题过程：
分子和分母都含有 $ x $，可以提取公因式：

• 分子：$ x(4x^2 - 2x + 1) $
• 分母：$ x(3x + 2) $

所以原式变为：

$\lim_{x \to 0} \frac{x(4x^2 - 2x + 1)}{x(3x + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{4x^2 - 2x + 1}{3x + 2}$

再代入 $ x = 0 $：

$\frac{4(0)^2 - 2(0) + 1}{3(0) + 2} = \frac{1}{2}$

答案：
$\boxed{\frac{1}{2}}$

(5)

$\lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$

解题过程：
展开分子：

$(x + h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2$

所以原式变为：

$\lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$

答案：
$\boxed{2x}$

(6)

$\lim_{x \to \infty} \left(2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)$

解题过程：
当 $ x \to \infty $ 时，$ \frac{1}{x} \to 0 $，$ \frac{1}{x^2} \to 0 $，所以：

$2 - 0 + 0 = 2$

答案：
$\boxed{2}$

(7)

$\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1}$

解题过程：
分子：$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $
分母：$ 2x^2 - x - 1 $，尝试因式分解：

$2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1)$

所以原式变为：

$\lim_{x \to -1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{(2x + 1)(x - 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{2x + 1}$

代入 $ x = -1 $：

$\frac{-1 + 1}{2(-1) + 1} = \frac{0}{-1} = 0$

答案：
$\boxed{0}$

(8)

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x}{x^4 - 3x^2 + 1}$

解题过程：
分子和分母同时除以 $ x^4 $：

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^4} + \frac{x}{x^4}}{1 - \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^4}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{1 - \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^4}}$

当 $ x \to \infty $，所有分母中的项都趋于 0，所以：

$\frac{0 + 0}{1 - 0 + 0} = 0$

答案：
$\boxed{0}$

(9)

$\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 - 5x + 4}$

解题过程：
分子和分母都因式分解：

• 分子：$ x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) $
• 分母：$ x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) $

所以原式变为：

$\lim_{x \to 4} \frac{(x - 2)(x - 4)}{(x - 1)(x - 4)} = \lim_{x \to 4} \frac{x - 2}{x - 1}$

代入 $ x = 4 $：

$\frac{4 - 2}{4 - 1} = \frac{2}{3}$

答案：
$\boxed{\frac{2}{3}}$

✅ 总结答案：

1. $-9$
2. $0$
3. $0$
4. $\frac{1}{2}$
5. $2x$
6. $2$
7. $0$
8. $0$
9. $\frac{2}{3}$