9.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=}Ae^-x,x>00,xleq0,则A=（）.A. 3B. 0.3C. 1D. 0.1

本题考查连续型随机变量概率密度函数的性质，解题思路是利用概率密度函数在整个定义域上的积分值为$1$这一性质来求解参数$A$。

已知连续型随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\begin{cases}Ae^{-x},x\gt0\\0,x\leq0\end{cases}$，根据连续型随机变量概率密度函数的性质$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$，对$f(x)$进行积分：

• 步骤一：根据$f(x)$的分段情况拆分积分区间
  因为$f(x)$在$x\leq0$时为$0$，在$x\gt0$时为$Ae^{-x}$，所以$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{+\infty}f(x)dx$。
  由于$\int_{-\infty}^{0}f(x)dx=\int_{-\infty}^{0}0dx = 0$，则$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{0}^{+\infty}Ae^{-x}dx$。
• 步骤二：计算$\int_{0}^{+\infty}Ae^{-x}dx$
  根据积分运算法则$\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$（$k$为常数），可得$\int_{0}^{+\infty}Ae^{-x}dx=A\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx$。
  对$\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx$进行计算，令$u = -x$，则$du = -dx$，当$x = 0$时，$u = 0$；当$x\to +\infty$时，$u\to -\infty$。
  那么$\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx=-\int_{0}^{-\infty}e^{u}du=\int_{-\infty}^{0}e^{u}du$。
  根据指数函数的积分公式$\int e^{u}du = e^{u} + C$，可得$\int_{-\infty}^{0}e^{u}du = e^{u}\big|_{-\infty}^{0}=e^{0}-e^{-\infty}=1 - 0 = 1$。
  所以$A\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx = A\times1 = A$。
• 步骤三：求解$A$的值
  因为$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$，即$A = 1$。