题目
16、填空设DX=25, DY=36, 相关系数rho_(XY)=0, 则D(X+Y)=____.(10分)
16、填空
设DX=25, DY=36, 相关系数$\rho_{XY}=0$, 则D(X+Y)=____.
(10分)
题目解答
答案
为了求解 $ D(X+Y) $，我们需要使用方差的性质。方差的性质之一是对于两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $，它们的和的方差可以表示为：
\[ D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2 \text{Cov}(X, Y) \]
其中，$ \text{Cov}(X, Y) $ 是 $ X $ 和 $ Y $ 的协方差。协方差与相关系数 $ \rho_{XY} $ 之间的关系为：
\[ \text{Cov}(X, Y) = \rho_{XY} \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)} \]
根据题目给出的条件，我们有 $ D(X) = 25 $， $ D(Y) = 36 $，以及 $ \rho_{XY} = 0 $。将这些值代入协方差的公式，我们得到：
\[ \text{Cov}(X, Y) = 0 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{36} = 0 \]
现在，将 $ D(X) = 25 $， $ D(Y) = 36 $，以及 $ \text{Cov}(X, Y) = 0 $ 代入方差的性质公式，我们得到：
\[ D(X+Y) = 25 + 36 + 2 \cdot 0 = 25 + 36 = 61 \]
因此， $ D(X+Y) $ 的值为：
\[ \boxed{61} \]
解析
本题考查方差的性质以及协方差与相关系数的关系。解题思路是先明确方差和的公式$D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$，再根据协方差与相关系数的关系$Cov(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}$，结合已知条件求出$Cov(X,Y)$的值，最后代入方差和的公式计算$D(X + Y)$。
- 首先明确方差和的公式：
对于两个随机变量$X$和$Y$，它们的和的方差公式为$D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$。 - 然后根据协方差与相关系数的关系求$Cov(X,Y)$：
已知协方差与相关系数$\rho_{XY}$之间的关系为$Cov(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}$。
题目中给出$D(X) = 25$，$D(Y) = 36$，$\rho_{XY} = 0$，将这些值代入协方差公式可得：
$Cov(X,Y)=0\times\sqrt{25}\times\sqrt{36}=0$ - 最后求$D(X + Y)$的值：
将$D(X) = 25$，$D(Y) = 36$，$Cov(X,Y) = 0$代入方差和的公式$D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$可得：
$D(X + Y)=25 + 36 + 2\times0=25 + 36=61$