下列不等式中不成立的是（）A. int_(1)^2ln xdx>int_(1)^2(ln x)^2dxB. int_(0)^(pi)/(2)sin xdxC. int_(0)^2ln(1+x)dxD. int_(0)^2e^xdx

本题主要考查定积分的性质，特别是定积分的保序性。若在区间$[a,b]$上，函数$f(x)\geq g(x)$，且$f(x)$与$g(x)$不恒等，则$\int_{a}^{b}f(x)dx > \int_{a}^{b}g(x)dx$。解题的关键在于比较每个选项中两个被积函数在相应积分区间上的大小关系。

选项A

• 比较$\ln x$和$(\ln x)^{2}$在$[1, 2]$上的大小。
• 当$x = 1$时，$\ln 1 = 0$，$(\ln 1)^{2}=0$；当$x = 2$时，$\ln 2\approx0.69$，$(\ln 2)^{2}\approx0.48$。
• 对于$1 < x < 2$，因为对数函数$y = \ln x$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$\ln x>0$，又因为$\ln 2<1$，所以$\ln x < 1$。
• 设$t=\ln x$，函数$y=t - t^{2}=t(1 - t)$，当$0 < t < 1$时，$y=t - t^{2}>0$，即$\ln x > (\ln x)^{2}$。
• 根据定积分保序性，可得$\int_{1}^{2}\ln xdx>\int_{1}^{2}(\ln x)^{2}dx$，所以选项A成立。

选项B

• 比较$\sin x$和$x$在$[0, \frac{\pi}{2}]$上的大小。
• 设$f(x)=x-\sin x$，对其求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，$(\sin x)^\prime=\cos x$，可得$f^\prime(x)=1-\cos x$。
• 因为$\cos x$的值域为$[-1,1]$，在$(0,\frac{\pi}{2})$上，$\cos x<1$，所以$f^\prime(x)=1 - \cos x>0$，这表明函数$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递增。
• 又$f(0)=0-\sin 0 = 0$，所以当$0 < x < \frac{\pi}{2}$时，$f(x)=x-\sin x>0$，即$\sin x < x$。
• 根据定积分保序性，可得$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}xdx$，所以选项B成立。

选项C

• 比较$\ln(1 + x)$和$x$在$[0, 2]$上的大小。
• 设$g(x)=x-\ln(1 + x)$，对其求导，根据求导公式$(\ln(1 + x))^\prime=\frac{1}{1 + x}$，可得$g^\prime(x)=1-\frac{1}{1 + x}=\frac{x}{1 + x}$。
• 在$(0,2)$上，$x>0$，$1 + x>0$，所以$g^\prime(x)=\frac{x}{1 + x}>0$，这表明函数$g(x)$在$(0,2)$上单调递增。
• 又$g(0)=0-\ln(1 + 0)=0$，所以当$0 < x < 2$时，$g(x)=x-\ln(1 + x)>0$，即$\ln(1 + x) < x$。
• 根据定积分保序性，可得$\int_{0}^{2}\ln(1 + x)dx<\int_{0}^{2}xdx$，所以选项C成立。

选项D

• 比较$e^{x}$和$1 + x$在$[0, 2]$上的大小。
• 设$h(x)=e^{x}-(1 + x)$，对其求导，根据求导公式$(e^x)^\prime=e^x$，可得$h^\prime(x)=e^{x}-1$。
• 在$(0,2)$上，$e^{x}>1$，所以$h^\prime(x)=e^{x}-1>0$，这表明函数$h(x)$在$(0,2)$上单调递增。
• 又$h(0)=e^{0}-(1 + 0)=0$，所以当$0 < x < 2$时，$h(x)=e^{x}-(1 + x)>0$，即$e^{x}>1 + x$。
• 根据定积分保序性，可得$\int_{0}^{2}e^{x}dx>\int_{0}^{2}(1 + x)dx$，所以选项D不成立。