甲机器制造直径为X的圆轴，且X服从[0.49,0.51]上的均匀分布；乙机器制造内径为Y的轴衬，且Y服从[0.51,0.53]上的均匀分布。甲，乙两机器独立生产，若轴衬与圆轴直径之差大于0.004且小于0.036，则两者相适合。求一个圆轴与一个轴衬相适合的概率。A. 0.69B. 0.9C. 0.6D. 0.96

本题考查均匀分布以及二维随机变量的概率计算。解题思路是先根据已知条件确定圆轴直径$X$和轴衬内径$Y$的概率密度函数，再根据两者相适合的条件确定积分区域，最后通过二重积分计算出相适合的概率。

步骤一：确定$X$和$Y$的概率密度函数

已知$X$服从$[0.49,0.51]$上的均匀分布，根据均匀分布的概率密度函数公式$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b - a},&a\leq x\leq b\\0,&\text{其他}\end{cases}$，可得$X$的概率密度函数为：
$f_X(x)=\begin{cases}50,&0.49\leq x\leq 0.51\\0,&\text{其他}\end{cases}$
同理，$Y$服从$[0.51,0.53]$上的均匀分布，则$Y$的概率密度函数为：
$f_Y(y)=\begin{cases}50,&0.51\leq y\leq 0.53\\0,&\text{其他}\end{cases}$

步骤二：确定$(X,Y)$的联合概率密度函数

因为甲、乙两机器独立生产，所以$X$与$Y$相互独立，根据相互独立的随机变量的联合概率密度函数等于各自概率密度函数的乘积，可得$(X,Y)$的联合概率密度函数为：
$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\begin{cases}2500,&0.49\leq x\leq 0.51,0.51\leq y\leq 0.53\\0,&\text{其他}\end{cases}$

步骤三：确定积分区域

已知轴衬与圆轴直径之差大于$0.004$且小于$0.036$时两者相适合，即$0.004\lt Y - X\lt 0.036$，可变形为$X + 0.004\lt Y\lt X + 0.036$。
结合$X$和$Y$的取值范围$0.49\leq x\leq 0.51$，$0.51\leq y\leq 0.53$，确定积分区域$D$。

步骤四：计算相适合的概率

根据二维随机变量的概率计算公式$P((X,Y)\in D)=\underset{D}{\iint}f(x,y)dxdy$，可得一个圆轴与一个轴衬相适合的概率为：
$\begin{align*}P(0.004\lt Y - X\lt 0.036)&=\underset{D}{\iint}2500dxdy\\&=2500\int_{0.49}^{0.51}dx\int_{x + 0.004}^{x + 0.036}dy\\&=2500\int_{0.49}^{0.51}[(x + 0.036)-(x + 0.004)]dx\\&=2500\int_{0.49}^{0.51}0.032dx\\&=2500\times0.032\times(0.51 - 0.49)\\&=2500\times0.032\times0.02\\&=1.6\\&= 0.96\end{align*}$